2024-2025學年上海市七寶中學高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、填空題(★★) 1. 二項式 展開式中的常數(shù)項是 ______ . (★) 2. 如果 ， ， ， 的方差是 ， 則 ， ， ， 的方差為 ______ . (★★) 3. 小明在書店隨機地選一本書， 設(shè)事件 ： 小明選的書是數(shù)學書， 事件 ： 小明選的書是中文版的書， 事件 ： 小明選的書是2024年或2024年以后出版的書， 請寫出 表示的事件： ______ . (★★) 4. 已知函數(shù) 在點 處切線的斜率為 ， 傾斜角為 ， 則 ______ . (★★) 5. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上可導， 則“函數(shù) 在區(qū)間 上是嚴格增函數(shù)”是“ 對任意的 成立”的 ______ 條件.（請?zhí)顚憽俺浞植槐匾?、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一個） (★★) 6. 若曲線 在點 處的切線方程為 ， 則 的值為 ________ ． (★★) 7. 將一枚均勻的硬幣投擲5次， 則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率是 ______ . (★★★) 8. 已知函數(shù) 的定義域為 ， 值域為 ， 則函數(shù) 是偶函數(shù)的概率為 __ ． (★★) 9. 在 在展開式中， 不含 的所有項的系數(shù)和為 ______ （用數(shù)值作答）. (★★) 10. 已知袋中有 個大小相同的編號球， 其中黃球9個， 紅球 個， 從中任取兩個球， 取出的兩球是一黃一紅的概率為 ， 則 的最大值為 ______ （用最簡分數(shù)表示）. (★★★) 11. 由所有連續(xù)且在定義域內(nèi)導函數(shù)存在的全體函數(shù)構(gòu)成的集合， 記為 .則以下命題為真命題的序號是 ______ . ①對于任意的 ， 若 為奇函數(shù)， 則 為偶函數(shù)； ②存在 ， 使得 為非奇非偶函數(shù)， 但 為奇函數(shù)或偶函數(shù)： ③對于任意的 ， 若 為減函數(shù)， 則 為增函數(shù)； ④存在 ， 使得 在定義域上單調(diào)， 但 在定義域上不單調(diào). (★★★★) 12. 已知集合 ， ， 是由函數(shù) ， 的圖像上兩兩不相同的點構(gòu)成的點集， 集合 ， 其中 、 .若集合 中的元素按照從小到大的順序排列能構(gòu)成公差為 的等差數(shù)列， 當 時， 則符合條件的點集 的個數(shù)為 ______ . 二、單選題(★) 13. 將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲100次， 第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率是（ ） A． B． C． D． (★★) 14. 現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)， 第1組數(shù)據(jù)為 ， ， ， ， ， ， 第2組數(shù)據(jù)為 ， 其中 ， 是正整數(shù).給出如下結(jié)論： ①當 時， 兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；②當 時， 第1組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；③當 時， 第1組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；④當 時， 第2組數(shù)據(jù)的方差大于第1組數(shù)據(jù)的方差.其中說法正確的是（ ） A． ①②；B． ①③；C． ①④；D． ③④. (★★★) 15. 我校共有1500名學生在學校用午餐， 每次午餐只能選擇在文夫樓的一樓或二樓的一個餐廳用餐， 經(jīng)統(tǒng)計， 當天在一樓餐廳用午餐的學生中， 有 的學生第二天會到二樓餐廳用午餐；而當天在二樓餐廳用午餐的學生中， 有 的學生第二天會到一樓餐廳用樓午餐， 則一學期后， 在一樓餐廳用午餐的學生數(shù)大約為（ ） A． 700B． 800C． 900D． 1000 (★★★) 16. 已知函數(shù) 的定義域為 ， 則下?列是“ 在 處取不到極大值”的充分條件的是（ ） A． 存在無窮多個， 滿足B． 對任意有理數(shù)， 均有C． 函數(shù)在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)， 在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)D． 函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)， 在區(qū)間上為嚴格增函數(shù) 三、解答題(★★) 17. 如圖， 某密碼鎖共有12位撥盤， 包含0到9共10個數(shù)字和“*、#”兩個特殊符號， 某人知道開鎖密碼按順序為“6位數(shù)字+1位特殊符號（6位數(shù)字可重復）”.已知， 當撥盤依次是907856#時， 鎖才能打開. 123456789*0#(1)如果該人記不得密碼所包含的6位數(shù)字和1位特殊符號， 則一次打開鎖的概率是多少？ (2)如果該人只記得密碼的最后兩位數(shù)字是56， 則他一次打開鎖的概率是多少？ (★★★) 18. 25年3月9日， 在十四屆全國人大三次會議民生主題記者會上， 國家衛(wèi)健委主任雷海潮表示， 將持續(xù)推進“體重管理年”行動.國家衛(wèi)健委發(fā)布的《成人肥胖食養(yǎng)指南（2024版）》顯示， 我國18歲及以上居民超重率、肥胖率分別達到 和 ， 居民肥胖率呈上升趨勢.目前， 國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）來衡量人體肥胖程度以及是否健康， 其計算公式是 . 中國成人的BMI數(shù)值標準為： 為偏瘦； 為正常； 為偏胖； 為肥胖. 為了解某公司員工的身體肥胖情況， 研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中， 根據(jù)年齡采用分層隨機抽樣方法抽取了50名員工的身高和體重數(shù)據(jù)， 計算得到他們的BMI值如下： 老年組： 21.8 18.2 25.2 28.1 21.5 19.1 25.7 24.4 17.6 20.8 中年組： 20.5 20.2 17.4 21.6 18.4 20.3 30.8 23.6 23.3 22.8 20.8 16.8 19.0 16.4 18.7 26.1 20.2 17.6 15.4 21.5 19.5 31.6 19.1 20.4 13.9 青年組： 18.6 16.6 15.9 18.3 18.1 29.7 18.9 16.9 25.8 19.8 18.5 16.0 17.6 19.1 26.5 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)， 請回答以下問題： (1)請完成下表， 并繪制25名中年組員工的體重指數(shù)（BMI）的頻率分布直方圖； (2)分別求出以上老年組和青年組員工體重指數(shù)（BMI）的第30百分位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位數(shù)字）， 并比較老年組和青年組員工在肥胖狀況上的差異； (3)分析公司員工胖瘦程度的整體情況， 并提出控制體重的至少兩條建議. 25名員工的BMI值的頻率分布表如下： 分組頻數(shù)頻率頻率／組距 (★★★) 19. 已知函數(shù) ， . (1)求 的單調(diào)區(qū)間； (2)若 ， 曲線 在 ， 兩點（不重合）處的切線互相垂直， 垂足為 ， 兩切線分別交 軸于 ， 兩點， 設(shè) 面積為 ， 若 恒成立， 求 的最小值. (★★★★) 20. 已知集合 中的任一個元素都是整數(shù)， 當存在整數(shù) 、 ， 且 時， 稱 為“間斷整數(shù)集”.進一步地， 若“間斷整數(shù)集” 中任意兩個元素的差的絕對值最小為 ， 則稱 為“ －間斷整數(shù)集”.已知集合 . (1)若集合 的三元子集 是“2－間斷整數(shù)集”， 求符合條件的元素 所構(gòu)成的集合； (2)若集合 的四元子集 是“1－間斷整數(shù)集”， 求集合 的個數(shù)； (3)求集合 的所有子集中， “間斷整數(shù)集”的個數(shù). (★★★★) 21. 我們把 稱為區(qū)間 的長度.若函數(shù) 是定義在區(qū)間 上的函數(shù)， 且存在 ， 使得 ， 則稱 為 的自映射區(qū)間， 函數(shù) 稱為自映射函數(shù).已知函數(shù) ， . (1)判斷 時， 函數(shù) 是否為自映射函數(shù).若是， 請給出它的一個自映射區(qū)間；若不是， 請說明理由； (2)若 ， 任取 的一個自映射區(qū)間， 求其區(qū)間的長度 的概率； (3)若 存在自映射區(qū)間 ， 求 的取值范圍. 。