2024-2025學(xué)年四川省成都市成華區(qū)某校高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題(★) 1. 已知數(shù)列 ， 則 是這個(gè)數(shù)列的（ ） A． 第17項(xiàng)B． 第18項(xiàng)C． 第19項(xiàng)D． 第20項(xiàng) (★) 2. 若 ， 則 （ ） A． B． 6C． 3D． -3 (★) 3. 記等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， 若 ， 則 （ ） A． B． C． D． (★★) 4. 已知函數(shù) ， 若 ， 則 （ ） A． B． 1C． D． e (★★) 5. 已知函數(shù) ， 則曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為（ ） A． B． C． D． (★★★) 6. 在等比數(shù)列 中， ， 是方程 的根， 則 的值為． A． B． C． D． 或 (★★) 7. 已知 為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)， 且 ． 若 ， 則 的取值范圍是（ ） A． B． C． D． (★★★) 8. “綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書(shū)記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷， 2017年10月18日， 該理論寫(xiě)入中共19大報(bào)告.為響應(yīng)總書(shū)記號(hào)召， 我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理， 該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方公里， 其中 是沙漠（其余為綠洲）， 從今年起， 該地區(qū)進(jìn)行綠化改造， 每年把原有沙漠的 改造為綠洲， 同時(shí)原有綠洲的 被沙漠所侵蝕又變成沙漠， 設(shè)從今年起第 n年綠洲面積為 萬(wàn)平方公里， 則（ ） 參考數(shù)據(jù)： A． B． C． 數(shù)列是等差數(shù)列D． 至少經(jīng)過(guò)6年， 綠洲面積可超過(guò)60% 二、多選題(★★★) 9. 已知曲線(xiàn) 的方程為 ， 為曲線(xiàn) 上且不在 軸上的一點(diǎn)， 則下列說(shuō)法正確的是（ ） A． 當(dāng)時(shí)， 曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)B． 若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 則的取值范圍是C． 當(dāng)時(shí)， 直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交D． 若曲線(xiàn)表示離心率為的橢圓， 且為其左， 右焦點(diǎn)， 則的周長(zhǎng)為 (★★★) 10. 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ， 則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． 數(shù)列的前n項(xiàng)和為C． 數(shù)列的前100項(xiàng)和為50D． 數(shù)列的前30項(xiàng)和為345 (★★★) 11. 如圖， 在邊長(zhǎng)為2的正方體 中， 點(diǎn) P在線(xiàn)段 上運(yùn)動(dòng)， 則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． 的最小值為C． 三棱錐的體積是定值D． 不存在點(diǎn)P使直線(xiàn)與直線(xiàn)AP夾角的余弦值為 三、填空題(★★) 12. 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ， ， 則 ____________ . (★★★) 13. 德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人， 以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦拢?第一次操作， 將邊長(zhǎng)為1的正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為 的小正方形后， 保留靠角的4個(gè)， 刪去其余5個(gè)；第二次操作， 將第一次剩余的每個(gè)小正方形繼續(xù)9等分， 并保留每個(gè)小正方形靠角的4個(gè)， 其余正方形刪去；以此方法繼續(xù)下去……、經(jīng)過(guò) n次操作后， 共刪去 __________ 個(gè)小正方形. (★★★) 14. 已知函數(shù) 與函數(shù) 存在一條過(guò)原點(diǎn)的公共切線(xiàn)， 則 __________ . 四、解答題(★★) 15. 已知等差數(shù)列 滿(mǎn)足 ， . (1)求 的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， 求數(shù)列 的前 項(xiàng)積 . (★★) 16. 如圖， 在長(zhǎng)方體 中， ， ， 為 的中點(diǎn)． (1)證明： ； (2)求平面 與平面 夾角的余弦值． (★★★) 17. 已知數(shù)列 的前 n項(xiàng)和為 ， 且 ． (1)求證： 數(shù)列 為等比數(shù)列； (2)若 ， 求數(shù)列 的前 n項(xiàng)和 ． (★★★) 18. 已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)重合， 且經(jīng)過(guò)點(diǎn) . (1)求橢圓 的方程； (2)橢圓 的右焦點(diǎn)為 ， 設(shè)動(dòng)直線(xiàn) 與坐標(biāo)軸不垂直， 與橢圓 交于不同的 ， 兩點(diǎn)， 且 與 互補(bǔ) 為坐標(biāo)原點(diǎn) . ①證明： 動(dòng)直線(xiàn) 恒過(guò) 軸上的某個(gè)定點(diǎn)， 并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)； ②求 面積的最大值. (★★★) 19. 在密碼學(xué)領(lǐng)域， 著名的歐拉函數(shù)應(yīng)用在數(shù)據(jù)加密算法中， 設(shè) 是兩個(gè)正整數(shù)， 若 的最大公約數(shù)是1， 則稱(chēng) 互素， 對(duì)于任意正整數(shù) ， 歐拉函數(shù)是不超過(guò) 且與 互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)， 記為 ， 如： . (1)求 的值； (2)設(shè) 是兩個(gè)素?cái)?shù)， 試用 表示 ， 并證明： ； (3)數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ， 設(shè)該數(shù)列的前 項(xiàng)的和為 ， 是否存在整數(shù) ， 使 對(duì)任意正整數(shù) 都成立？若存在， 求 的最小值；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由. 。