備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題15 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)及十大題型】【題型1 根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】 3【題型2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】 6【題型3 二次函數(shù)平移變換問題】 12【題型4 根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求字母的取值范圍】 15【題型5 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】 18【題型6 根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍】 21【題型7 根據(jù)二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍】 24【題型8 根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】 27【題型9 二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號】 29【題型10 二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法】【知識(shí)點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.定義：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)其中x是自變量，a.b.c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù).常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)解析式的表示方法(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，它直接顯示二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；(3)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ．注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.2.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下a|越大，拋物線的開口越小；|a|越小，拋物線的開口越大y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c對稱軸y軸y軸x=hx=h頂點(diǎn)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值 最小值(或最大值)為0(k或)增減性a>0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減?。粁>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大a<0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減小即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小3.二次函數(shù)的平移：方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下： 方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）4.二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大?。?.b的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”3.c決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對稱軸為y軸ab＞0(a與b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a與b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc＝0經(jīng)過原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交5.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系 判別式情況b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2沒有實(shí)數(shù)根當(dāng)b2－4ac＜0時(shí) 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有． 【題型1 根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】【例1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)y=(x-2)2-3的說法正確的是(????)A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒有交點(diǎn)C．當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3)【答案】D【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此解答即可．【詳解】解：A、∵a=1>0，圖象的開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵ y=(x-2)2-3=x2-4x+1，∴ Δ=(-4)2-4×1×1=12>0，即圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大而減小，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵ y=(x-2)2-3，∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3)，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【變式1-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=-x2-1的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法正確的是（???）A．開口向上 B．當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的最大值是-1C．對稱軸是直線x=1 D．拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=-x2-1的圖象和性質(zhì)，逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵y=-x2-1，a=-1<0，∴拋物線開口向下，故A錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的最大值是-1，故B正確；∵拋物線的對稱軸是y軸，故C錯(cuò)誤；∵Δ=b2-4ac=02-4×-1×-1=-4<0，∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測）關(guān)于二次函數(shù)y=x2+2x-8，下列說法正確的是（　?。〢．圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)B．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，-9C．圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0和4,0D．y的最小值為-9【答案】D【分析】把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+2x-8=x+12-9=x+4x-2，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x=-1，在y軸的左側(cè)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，y=-8，即該函數(shù)與y軸交于點(diǎn)0，-8，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)y=0時(shí)，x=2或x=-4，即圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,0和-4,0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)x=-1時(shí)，該函數(shù)取得最小值y=-9，故選項(xiàng)D正確．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=mx2-4mx過點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx1,y3，其中y2=-4m，以下結(jié)論正確的是（　?。〢．若x1-x2≤x3-x2，則y2≥y3≥y1 B．若x1-x2≥x3-x2，則y2≥y3≥y1C．若y1x2-x3【答案】D【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=2，從而可得點(diǎn)B為頂點(diǎn)，由m>0拋物線開口向上可判斷A，B選項(xiàng)，由點(diǎn)到對稱軸的距離與函數(shù)值的關(guān)系可判斷C，D；【詳解】解：∵y=mx2-4mx=m(x-2)2-4m，∴拋物線對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為(2,-4m)，∵y2=-4m，∴Bx2,y2為拋物線頂點(diǎn)，x2=2，當(dāng)m>0時(shí)，拋物線開口向上，y2為函數(shù)最小值，∴選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．若y1x2-x3∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，開口向下時(shí)，圖象上的點(diǎn)離頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，即橫坐標(biāo)到對稱軸的距離越大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)就越小【題型2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】【例2】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知P1x1,y1,P2x2,y2是拋物線y=ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x=-2；②點(diǎn)0,3在拋物線上；③若x1>x2>-2，則y1>y2；④若y1=y2，則x1+x2=-2其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（????）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸公式x=-b2a=-4a2a=-2可判斷①；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，可判斷②；根據(jù)拋物線的增減性，分兩種情況計(jì)算可判斷③；利用對稱點(diǎn)的坐標(biāo)得到x1+x22=-2，可以判斷④．【詳解】解：∵拋物線y=ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0，∴x=-b2a=-4a2a=-2，故①正確；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)0,3在拋物線上，故②正確；當(dāng)a>0時(shí)，y1>y2，當(dāng)a<0時(shí)，y1x2>92時(shí)，y1-y2x1-x2<0．③若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則-490且n≤x≤3時(shí)，-14≤y≤n2+1，則n=1．其中正確的結(jié)論有（????）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】先求出該函數(shù)對稱軸為直線x=3，再得出x1=3+a和x2=3-a關(guān)于直線x=3對稱，即可判斷①；把C2,-13代入y=mx2-6mx-5m≠0，求出m=1，則當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，得出x1-x2>0,y1-y2>0，即可判斷②；根據(jù)y=mx2-6mx-5=mx-32-5-9m，然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)m<0時(shí)，即可判斷③；根據(jù)當(dāng)m>0且n≤x≤3時(shí)，得出y隨x的增大而減小，根據(jù)x=3時(shí)，y=-5-9m=-14，求出m=1，則當(dāng)x=n時(shí)，y=n2-6n-5=n2+1，求出n的值，即可判斷④．【詳解】解：①∵二次函數(shù)y=mx2-6mx-5m≠0，∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=--6m2m=3，∵x1=3+a，x2=3-a，∴x1+x22=3，即x1,y1和x2,y2關(guān)于直線x=3對稱，∴x1=3+a對應(yīng)的函數(shù)值與x2=3-a對應(yīng)的函數(shù)值相等，故①正確，符合題意；②把C2,-13代入y=mx2-6mx-5m≠0得： -13=4m-12m-5，解得：m=1，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2-6x-5，∵a=1>0，該函數(shù)的對稱軸為直線x=3，∴當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，∵x1>x2>92，∴y1>y2，∴x1-x2>0,y1-y2>0，∴y1-y2x1-x2>0，故②不正確，不符合題意；③∵y=mx2-6mx-5=mx-32-5-9m，∴當(dāng)x=3時(shí)，y=-5-9m，當(dāng)x=6時(shí)，y=-5，當(dāng)m>0時(shí)，∵3≤x≤6，∴y隨x的增大而增大，∵3≤x≤6。