備戰(zhàn)中考專題6 一次方程（組）及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)及八大題型】【題型1 等式的性質(zhì)及一元一次方程的相關(guān)概念】 【題型2 一次方程(組)的解法】 【題型3 一元一次方程的應(yīng)用】 【題型4 二元一次方程組的應(yīng)用之和差倍分問(wèn)題】 【題型5 二元一次方程組的應(yīng)用之銷售問(wèn)題】 【題型6 中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程（組）】 【題型7 中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】 【題型8 中考最熱考法之以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用】 【知識(shí)點(diǎn) 一次方程(組)】1.定義定義1：含有未知數(shù)的等式叫做方程定義2：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是定義3：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解定義4：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是定義5：把兩個(gè)方程合在一起，就組成了方程組定義6：方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，這樣的方程組叫做二元一次方程組定義7：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

定義8：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；(c≠0)等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等3.解一元一次方程的一般步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為14.解二元一次方程組的方法①代入消元法；②加減消元法代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法5.方程(組)與實(shí)際問(wèn)題解有關(guān)方程(組)的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：第1步：審題認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系第2步：設(shè)未知數(shù)根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)第3步：列方程(組)根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程(組)第4步：解方程(組)根據(jù)方程(組)的類型采用相應(yīng)的解法。

第5步：答題型1 等式的性質(zhì)及一元一次方程的相關(guān)概念】【例1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)x、y、c是實(shí)數(shù)，正確的是（????）A．若x=y，則x+c=c-y B．若x=y，則c-x=c-yC．若x=y，則xc=yc D．若x2c=y3c，則2x=3y【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，即可一一判定．【詳解】解：A.若x=y，則x+c=y+c，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.若x=y，則c-x=c-y，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.若x=y且c≠0，則xc=yc，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D. 若x2c=y3c，則3x=2y，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)解為2的一元一次方程，這個(gè)方程可以為 ．【答案】x-2=0或 5x=10（答案不唯一）【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0），據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵x=2，∴根據(jù)一元一次方程的一般形式ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0），可列方程x-2=0或 5x=10等，故答案為：x-2=0或 5x=10（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，熟練掌握一元一次方程的定義及一般形式是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考三模）若a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且67a+17c=b，則下列結(jié)論正確的是(???)A．a(chǎn)-c=6b-a B．a(chǎn)-b=7a-cC．a(chǎn)-b=6b-c D．a(chǎn)-c=7a-b【答案】D【分析】根據(jù)67a+17c=b直接計(jì)算a-b可判斷B、C錯(cuò)誤；將67a+17c=b變形求出c=7b-6a，然后計(jì)算a-c可判斷A錯(cuò)誤，D正確．【詳解】解：∵67a+17c=b，∴a-b=a-67a+17c=17a-17c=17a-c，故B、C錯(cuò)誤；∵67a+17c=b，∴6a+c=7b，∴c=7b-6a，∴a-c=a-7b-6a=7a-7b=7a-b，故A錯(cuò)誤，D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的變形，等量代換．【變式1-3】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，則其解為 ．【答案】x＝2或x=-2或x=-3．【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，（1）當(dāng)2m﹣1＝1，即m＝1，即x﹣2＝0 解得：x＝2， （2）當(dāng)m=0時(shí)，-x-2＝0，解得：x=-2（3）當(dāng)2m-1=0，即m=12時(shí)，方程為12-12x-2=0解得：x=-3，故答案為x=2或x=-2或x=-3．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【題型2 一次方程(組)的解法】【例2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)x，y，m滿足x+y+m=6，3x-y+m=4，則代數(shù)式-2xy+1的值可以是（????）A．3 B．52 C．2 D．32【答案】D【分析】聯(lián)立方程組，解得x=5-m2y=7-m2，設(shè)w=-2xy+1，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：依題意，x+y+m=63x-y+m=4，解得：x=5-m2y=7-m2設(shè)w=-2xy+1∴w=-2×5-m2×7-m2+1= -m22+6m-332∵-12<0∴w有最大值，最大值為4×-12×-332-364×-12=32故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為（????）A．3 B．-3 C．7 D．-7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．【變式2-2】（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式x+2的值為7，則x等于（????）A．9 B．-9 C．5 D．-5【答案】C【分析】根據(jù)題意得出x+2=7，然后解方程即可．【詳解】解：∵代數(shù)式x+2的值為7，∴x+2=7，解得：x=5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出x+2=7．【變式2-3】（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）解方程組：x-2y=1①3x+4y=23②【答案】x=5y=2【分析】方程組利用加減消元法求解即可．【詳解】解：將①×2得：2x-4y=2③②+③得：x=5將x=5代入①得：y=2所以x=5y=2是原方程組的解．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)．【題型3 一元一次方程的應(yīng)用】【規(guī)律方法】利用一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，而等量關(guān)系往往隱藏在含有關(guān)鍵詞的語(yǔ)句中，列方程時(shí)應(yīng)注意以下內(nèi)容：（1） 設(shè)未知數(shù)時(shí)，單位要寫(xiě)清楚；（2） 列方程時(shí)，方程兩邊所表示的量應(yīng)該相同，并且各項(xiàng)的單位要一致；（3） 對(duì)于求得的解，還要檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義。

例3】（2023浙江杭州·校聯(lián)考一模）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元．已知她買的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．【答案】8元【分析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是x-3元，根據(jù)買了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，列方程求解．【詳解】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是x-3元，由題意可得4x+6x-3=62，解得：x=8；答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題．【變式3-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是6:4，左、右邊的寬相等，均為天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的和的110．某人要裝裱一副對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長(zhǎng)為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長(zhǎng)．（書(shū)法作品選自《啟功法書(shū)》）??【答案】邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm【分析】設(shè)天頭長(zhǎng)為xcm，則地頭長(zhǎng)為23xcm，邊的寬為110x+23xcm=16xcm，再分別表示礎(chǔ)裝裱后的長(zhǎng)和寬，根據(jù)裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)天頭長(zhǎng)為xcm，由題意天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是6:4，可知地頭長(zhǎng)為23xcm，邊的寬為110x+23xcm=16xcm，裝裱后的長(zhǎng)為23x+x+100cm=53x+100cm，裝裱后的寬為16x+16x+27cm=13x+27cm，由題意可得：53x+100=13x+27×4解得x=24，∴16x=4，答：邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系．【變式3-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）古代中國(guó)的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問(wèn)生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國(guó)1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問(wèn)原有生絲多少？”則原有生絲為 斤．【答案】967【分析】設(shè)原有生絲x斤，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)原有生絲x斤，依題意，3030-31216=x12解得：x=967，故答案為：967．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)綠化工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天能完成的綠化改造面積比乙隊(duì)多200平方米，甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積．（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？（2）該社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為600元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為400元，比較以下三種方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成；②乙隊(duì)單獨(dú)完成；③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成．哪一種方案的。