備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題8 一元二次方程及其應(yīng)用【知識點及九大題型】【題型1 一元二次方程的解法】 【題型2 根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】 【題型3 根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】 【題型4 一元二次方程的應(yīng)用之平均增長（下降）率問題】 【題型5 一元二次方程的應(yīng)用之幾何圖形的面積問題】 【題型6 一元二次方程的應(yīng)用之與漲價、降價有關(guān)的商品利潤問題】 【題型7 中考最熱考法之以開放性試題的形式考查解一元二次方程】 【題型8 中考最熱考法之以開放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】 【題型9 中考最熱考法之以真實問題情境考查一元二次方程的實際應(yīng)用】 【知識點 一元二次方程】1.定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)其中ax2 是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項2.一元二次方程的解法(1)直接開方法適用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p2)配方法套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化簡——把方程化為一般形式，并把二次項系數(shù)化為1；②移項——把常數(shù)項移項到等號的右邊；③配方——兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；④開方，即降次；⑤解一次方程。

3)公式法當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根可寫為：的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式這種解一元二次方程的方法叫做公式法①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根③b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac4)因式分解法主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法3.一元二次方程與實際問題解有關(guān)一元二次方程的實際問題的一般步驟：第1步：審題認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系第2步：設(shè)未知數(shù)根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)第3步：列方程根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程第4步：解方程根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法第5步：檢驗檢驗所求得的根是否滿足題意第6步：答題型1 一元二次方程的解法】【例1】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2【答案】x1=-1，x2=1【分析】直接開方可得2x+3=-3x-2或2x+3=3x+2，然后計算求解即可．【詳解】解：∵(2x+3)2=(3x+2)2∴2x+3=-3x-2或2x+3=3x+2解得x1=-1，x2=1．【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當?shù)姆椒ń夥匠蹋咀兪?-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）解方程：xx-2=x-2．【答案】x1=2，x2=1【分析】先移項得到xx-2-x-2=0，然后利用因式分解法解方程．【詳解】解：xx-2=x-2移項得：xx-2-x-2=0，分解因式得：x-2x-1=0，∴x-2=0或x-1=0，解得：x1=2，x2=1．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式1-2】（2023·吉林·中考真題）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2【答案】x1＝2，x2＝83．【分析】先根據(jù)完全平方公式因式分解，再運用平方差公式因式分解解答即可．【詳解】解：x2-6x+9=(5-2x)2x-32=(5-2x)2x-32-(5-2x)2=0x-3+(5-2x)x-3-(5-2x)=0（2-x）（3x-8）=02-x=0或3x-8=0則x1＝2，x2＝83．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，正確進行因式分解成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·山東·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問題．（1）根據(jù)要求，解答下列問題．①方程x2－2x＋1＝0的解為________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為________________________；…… ……（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為________________________；②關(guān)于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗證猜想結(jié)論的正確性．【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2=3．（2）①x1＝1，x2＝8， ②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．【分析】（1）觀察這些方程可得，方程的共同特征為二次項系數(shù)均為1，一次性系數(shù)分別為－2、－3、－4，常數(shù)項分別為1，2，3．解的特征：一個解為1，另一個解分別是1、2、3、4、…，由此寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）的方法直接寫出答案即可；（3）用配方法解方程即可.【詳解】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2=3．（2）①x1＝1，x2＝8；②x2－(1＋n)x＋n＝0．（3）x2－9x＋8＝0 x2－9x＝－8 x2－9x＋814＝－8＋814(x－92 )2＝494∴x－92＝±72．∴x1＝1，x2＝8．【點睛】本題考查解一元二次方程.根據(jù)系數(shù)和解的特征找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.【題型2 根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】【規(guī)律方法】判斷一般形式為一元二次方程根的情況時，使用根的判別式“b2-4ac”判斷，若方程形式為（mx+n）2=p,則可利用以下方法判斷：當p＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當p=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當p＜0，方程沒有實數(shù)根.【例2】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情況是（????）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】對于ax2+bx+c=0(a≠0)，當Δ>0, 方程有兩個不相等的實根，當Δ=0, 方程有兩個相等的實根，Δ<0, 方程沒有實根，根據(jù)原理作答即可．【詳解】解：∵x2+mx-8=0，∴Δ=m2-4×-8=m2+32>0，所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0(1)求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；(2)若x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，且x2x1+x1x2=-52，求m的值．【答案】(1)見解析(2)25或1．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，只要判定Δ≥0即可得到答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2m-1，x1x2=-3m2+m，整體代入得到m2+2m-3=0求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0，∴a=1，b=-2m-1，c=-3m2+m，∴Δ=b2-4ac=-2m-12-4×1×-3m2+m=4m-12，∵4m-12≥0，即Δ≥0，∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=2m-1，x1x2=-3m2+m，∵x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22-2x1x2x1x2=-52，∴x1+x22x1x2=-12，∴(2m-1)2-3m2+m=-12，整理，得5m2-7m+2=0，解得m1=25，m2=1，∴m的值為25或1．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“?”為a?b=b2-ab，例如3?2=22-3×2=-2，則關(guān)于x的方程(k-3) ?x=k-1的根的情況，下列說法正確的是（????）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于x的方程為x2-k-3x+1-k=0，再利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵k-3?x=k-1，∴x2-k-3x=k-1，∴x2-k-3x+1-k=0，∴Δ=b2-4ac=k-32-41-k=k2-6k+9-4+4k=k-12+4>0，∴方程x2-k-3x+1-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實數(shù)運算，正確得到關(guān)于x的方程為x2-k-3x+1-k=0是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點P(a,c)在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情況為（ ）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定【答案】B【分析】根據(jù)點P(a,c)在第四象限得a>0,c<0，可得ac<0，則方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac>0，即可得．【詳解】解：∵點P(a,c)在第四象限，∴a>0,c<0，∴ac<0，∴方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac>0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．【點睛】本題考查了點坐標的特征，根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．【題型3 根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】【例3】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2-2k+4x+k-6=0有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)當k=1時，用配方法解方程．【答案】(1)k>-25且k≠0(2)x1=3+14，x2=3-14【分析】（1）根據(jù)題意，可得2k+42-4kk-6>0，注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答，（2）將k=1代入kx2-2k+4x+k-6=0，利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：依題意得：k≠0Δ=2k+42-4kk-6=40k+16>0，解得k>-25且k≠0；（2）解：當k=1時，原方程變?yōu)椋簒2-6x-5=0，則有：x2-6x+9=5+9，∴x-32=14，∴x-3=±14，∴方程的根為x1=3+14，x2=3-14．【點睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0沒有實數(shù)根，那么a的取值范圍是 ．【答案】a>9【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可進行求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程。