備戰(zhàn)中考數(shù)學專題12 一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【知識點及十大題型】【題型1 一次函數(shù)的相關概念】 【題型2 判斷一次函數(shù)圖象】 【題型3 探究一次函數(shù)經(jīng)過的象限與系數(shù)之間關系】 【題型4 一次函數(shù)與坐標軸交點問題】 【題型5 探究一次函數(shù)的增減性與系數(shù)之間關系】 【題型6 求一次函數(shù)解析式】 【題型7 一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】 【題型8 一次函數(shù)的新定義問題】 【題型9 求兩直線與坐標軸圍成的圖形面積】 【題型10 探究函數(shù)與方程、不等式之間的關系】 【知識點 一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.定義定義1：一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)定義2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)當b=0時，y=kx+b即y=kx，是正比例函數(shù)所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)2.一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)：正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，稱為直線y=kxy=kx圖像經(jīng)過象限升降趨勢增減性k＞0三.一從左向右上升y隨著x的增大而增大k＜0二.四從左向右下降y隨著x的增大而減小一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：一次函數(shù)y=kx+b(k.b是常數(shù)，k≠0)的圖象是一條直線，稱為直線y=kx+b。

當k＞0時，直線y=kx+b從左向右上升，即y隨著x的增大而增大；當k＜0時，直線y=kx+b從左向右下降，即y隨著x的增大而減小y=kx+b圖像經(jīng)過象限升降趨勢增減性k＞0，b＞0一二三從左向右上升y隨著x的增大而增大k＞0，b＜0一三四k＜0，b＞0一二四從左向右下降y隨著x的增大而減小k＜0，b＜0二三四3.待定系數(shù)法定義：先設出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b滿足條件的兩定點(x1，y1)與(x2，y2)一次函數(shù)的圖象直線l4.一次函數(shù)與方程(組)及不等式(組)方程(組)的解與相應函數(shù)的交點坐標是相對應的找到函數(shù)的交點坐標，也就找到了對應方程(組)的解，反之一樣對于不等式(組)的解集也可以通過其對應的函數(shù)圖象來解決題型1 一次函數(shù)的相關概念】【例1】（2023·湖南邵陽·校聯(lián)考二模）若一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（????）A．k>0 B．b=2 C．y隨x的增大而增大 D．x=3時，y=0【答案】B【分析】首先根據(jù)圖像中過兩點(0,2),(4,0)，求出一次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】首先將(0,2),(4,0)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b，得b=24k+b=0 ，解得k=-12b=2，所以解析式為y=-12x+2 ；A、k>0,由求出的k=-12，可知此選項錯誤；B、b=2，由求出的b=2，可知此選項正確；C、因為k＜0，所以y隨x的增大而減小，故此選項錯誤；D、將x=3代入，y=-12×3+2=12 ，故此選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖像的性質(zhì)和求一次函數(shù)解析式，熟練掌握函數(shù)圖像與函數(shù)解析式中系數(shù)k,b 的關系是解題關鍵．【變式1-1】（2023·陜西西安·?？家荒＃┤粽壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過點4m,3mm≠0，則下列各點也在該正比例函數(shù)圖象上的是(????)A．(-1,-43) B．(-12,-1) C．(1,34) D．(3,4)【答案】C【分析】由點的坐標，利用正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出正比例函數(shù)解析式，代入各選項中點的橫坐標，求出y值，再將其與縱坐標比較后，即可得出結論．【詳解】解：設正比例函數(shù)解析式為y=kx (k≠0)，∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4m,3m)(m≠0)，∴3m=4mk，∴k=34，∴正比例函數(shù)解析式為y=34x，A．當x=-1時，y=34×(-1)=-34≠-43，選項A不符合題意；B．當x=-12時，y=34×(-12)=-9≠-1，選項B不符合題意；C．當x=1時，y=34×1=34，選項C符合題意；D．當x=3時，y=34×3=94≠4，選項D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記“直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx”是解題的關鍵．【變式1-2】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）已知一次函數(shù)y=x-1的圖象經(jīng)過點m,2，則m= ．【答案】3【分析】把點m,2代入一次函數(shù)y=x-1，列出關于m的一元一次方程，解之即可得m的值．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=x-1的圖象經(jīng)過點m,2，∴把點m,2代入一次函數(shù)，得m-1=2，解得：m=3．故答案為：3．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式．根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的特征得出關于m的一元一次方程是解題的關鍵．【變式1-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）若方程2x-6=0的解，是一個一次函數(shù)的函數(shù)值為2時，對應的自變量的值，則這個一次函數(shù)可以是（????）A．y=2x-4 B．y=-2x+4 C．y=2x-6 D．y=-2x+6【答案】A【分析】由2x-6=0得x=3，再分別求出各選項在x=3時的函數(shù)值，即可得到答案．【詳解】解：由2x-6=0得x=3，當x=3時，y=2x-4=2×3-4=2，故A符合題；y=-2x+4=-2×3+4=-2，故B不符合題意；y=2x-6=2×3-6=0，故C不符合題意；y=-2x+6=-2×3+6=0，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)的表達式及解一元一次方程，根據(jù)題意得出x=3是解題的關鍵．【題型2 判斷一次函數(shù)圖象】【例2】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）將一圓柱體從水中勻速提起，從如圖所示開始計時，直至其下表面剛好離開水面，停止計時．用x表示圓柱體運動時間，y表示水面的高度，則y與x之間函數(shù)關系的圖象大致是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】設剛開始時水高為h，大水桶底面積為S1，圓柱體底面積為S2，速度為v，當圓柱體上表面未離開水面時，體積不變，水高不變，y=h，當上表面開始離開水面，直至其下表面剛好離開水面時，由題意得，S1y=S1h-S2vx，整理得，y=-S2vS1x+h，根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象即可．【詳解】解：設剛開始時水高為h，大水桶底面積為S1，圓柱體底面積為S2，速度為v，當圓柱體上表面未離開水面時，體積不變，水高不變，y=h，當上表面開始離開水面，直至其下表面剛好離開水面時，由題意得，S1y=S1h-S2vx，整理得，y=-S2vS1x+h，∵-S2vS1<0，∴y隨x的增大而減小，∴可知y與x之間函數(shù)關系的圖象大致為y先保持不變，然后y隨x的增大而減小，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象．解題的關鍵在于正確的表示數(shù)量關系．【變式2-1】（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym，當x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關系是（???）A．一次函數(shù)關系 B．二次函數(shù)關系C．正比例函數(shù)關系 D．反比例函數(shù)關系【答案】A【分析】設另一邊為y，矩形的周長為2(x+y)=10 ，可用x來表示y，即可得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式．【詳解】解：設另一邊為y，由題意得，2(x+y)=10，∴x+y=5，∴y=5-x，即滿足一次函數(shù)關系，故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并熟練掌握一次函數(shù)的解析式形式是解題的關鍵．【變式2-2】（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=ax和y=x+aa≠0的圖象可能是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查正比例函數(shù)的系數(shù)和一次函數(shù)常數(shù)項決定圖象所過象限的知識點．【詳解】解：A．由函數(shù)y=ax得a>0，與y=x+aa≠0圖象的a<0矛盾，故本選項不符合題意； B．函數(shù)y=x+aa≠0所過象限錯誤，故本選項不符合題意；C．函數(shù)y=x+aa≠0所過象限錯誤，故本選項不符合題意；D．由函數(shù)y=ax得a<0，與y=x+aa≠0圖象的a<0一致，故本選項符合題意．故選：D．【變式2-3】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）如圖表示光從空氣進入水中前、后的光路圖，若按如圖建立平面直角坐標系，并設入水前與入水后光線所在直線的表達式分別為y1=k1x,y2=k2x，則關于k1與k2的關系，正確的是（????）??A．k2<0k2，當取橫坐標為正數(shù)時，同理可得k1>k2，綜上所述，0>k1>k2故選：D??【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關鍵是取橫坐標相同的點，利用縱坐標的大小關系得到比例系數(shù)的關系．【題型3 探究一次函數(shù)經(jīng)過的象限與系數(shù)之間關系】【規(guī)律方法】對于y=kx+b與y軸交于(0,b)，當b>0時，(0,b)在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b<0時，(0,b)在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸；當k>0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、三象限；k>0，b<0?y=kx+b的圖象在一、三、四象限；k<0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、四象限；k<0，b<0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限.【例3】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則下列結論正確的是(??????)A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，可知k＞0，b＜0，即可求得答案.【詳解】y＝kx+b的圖象經(jīng)過一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0，故選B.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0，k，b為常數(shù))的的圖象為一條直線，當k＞0，圖象經(jīng)過第一，三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0，圖象經(jīng)過第二，四象限，y隨x的增大而減??；當b＞0，圖象與y軸的交點在x軸的上方；當b=0，圖象過坐標原點；當b＜0，圖象與y軸的交點在x軸的下方．【變式3-1】（2023·陜西·中考真題）若一次函數(shù)y=（2m﹣1）x+3﹣2m的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則m的取值范圍是 ．【答案】m＜12【詳解】∵y=（2m﹣1）x+3﹣2m的圖象經(jīng)過一、二、四象限，∴（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0∴解不等式得：m＜12，m＜32，∴m的取值范圍是m＜12．故答案為m＜12.【變式3-2】（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若一次函數(shù)y=x+b（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是 （寫出一個即可）．【答案】1（答案不唯一，滿足b>0即可）【分析。