備戰(zhàn)中考專題2 整式與因式分解【十大題型】【題型1 實際問題中的代數(shù)式】 【題型2 求代數(shù)式的值】 【題型3 整式的加減與冪的運算】 【題型4 整式的乘除】 【題型5 乘法公式的應(yīng)用】 【題型6 整式的化簡求值】 【題型7 提公因式法分解因式】 【題型8 運用公式法分解因式】 【題型9 數(shù)式規(guī)律探究】 【題型10 數(shù)式中的新定義問題探究】 【知識點 整式與因式分解】1.定義(1)代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式2)單項式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項式單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)3)多項式：幾個單項式的和叫做多項式其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)單項式與多項式統(tǒng)稱整式4)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

5)合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變2.整式的運算(1)整式的加減：幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項去括號法則：同號得正，異號得負即括號外的因數(shù)的符號決定了括號內(nèi)的符號是否改變：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反2)整式的乘除運算①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加②冪的乘方：(am)n=amn冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘③積的乘方：(ab)n=anbn積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘④單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式⑤單項式與多項式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加⑥多項式與多項式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差這個公式叫做平方差公式完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍這兩個公式叫做完全平方公式⑦同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1⑧單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式⑨多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加注：以上公式及法則在分式和二次根式的運算中同樣適用3)添括號法則同號得正，異號得負即括號前的符號決定了括號內(nèi)各項的符號是否改變：如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號3.因式分解定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止題型1 實際問題中的代數(shù)式】【例1】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現(xiàn)需購買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（????）A．8x元 B．10(100-x)元 C．8(100-x)元 D．(100-8x)元【答案】C【分析】根據(jù)題意列求得購買乙種讀本100-x本，根據(jù)單價乘以數(shù)量即可求解．【詳解】解：設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本100-x本，乙種讀本的單價為8元/本，則則購買乙種讀本的費用為8(100-x)元故選C【點睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數(shù)式表示）【答案】7.5-10x【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．【詳解】根據(jù)題意可得，他離健康跑終點的路程為7.5-10x．故答案為：7.5-10x．【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．【變式1-2】（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個數(shù)之外的每一個方格中，填入一個數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，很快就完成了這個游戲，則m= ．1674【答案】39【分析】設(shè)第一列中間的數(shù)為x，則三個數(shù)之和為16+4+x=20+x，再一次把表格的每一個數(shù)據(jù)填好，從而可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)第一列中間的數(shù)為x，則三個數(shù)之和為16+4+x=20+x，可得：1613+xx13746+x10∴m=16+13+10=39，故答案為：39【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運算的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為a米（a>6）的正方形土地租給租戶張老漢．第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（????）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【答案】C【分析】分別求出2次的面積，比較大小即可．【詳解】原來的土地面積為a2平方米，第二年的面積為(a+6)(a-6)=a2-36 ∵(a2-36)-a2=-36<0∴ 所以面積變小了，故選C．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的運算，平方差公式，代數(shù)式大小的比較，正確理解題意列出代數(shù)式并計算是解題的關(guān)鍵．【題型2 求代數(shù)式的值】【規(guī)律方法】求代數(shù)式的一般方法：（1） 已知字母或代數(shù)式的值，直接代入數(shù)式求解。

2） 已知幾個字母之間的關(guān)系，將代數(shù)式配湊成關(guān)于那幾個字母之間的關(guān)系的式子，再整體代換3） 當字母的取值不明確時，需將字母的值化簡或求解出來，再代入代數(shù)式解題例2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若a2-4a-12=0，則2a2-8a-8的值為（????）A．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【分析】根據(jù)a2-4a-12=0得到a2-4a=12，再將整體代入2a2-8a-8中求值．【詳解】解：a2-4a-12=0，得a2-4a=12，2a2-8a-8變形為2(a2-4a)-8，原式=2×12-8=16．故選：D．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，將2a2-8a-8變形為2(a2-4a)-8是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若m、n滿足3m-n-4=0，則8m÷2n= ．【答案】16【分析】先將已知3m-n-4=0變形為3m-n=4，再將8m÷2n變形為23m-n，然后整體代入即可．【詳解】解：∵3m-n-4=0∴3m-n=4∴8m÷2n=23m÷2n=23m÷2n=23m-n=24=16故答案為：16．【點睛】本題考查代數(shù)式值，冪的乘方和同底數(shù)冪除法，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪除法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)a，b，滿足a+b=6，ab=7，則a2b+ab2的值為 ．【答案】42【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．【詳解】a2b+ab2=aba+b=7×6=42．故答案為：42．【點睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【變式2-3】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)m滿足m2-m-1=0，則2m3-3m2-m+9= ．【答案】8【分析】由題意易得m2-m=1，然后整體代入求值即可．【詳解】解：∵m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴2m3-3m2-m+9=2mm2-m-m2-m+9=2m-m2-m+9=m-m2+9=-m2-m+9=-1+9=8；故答案為8．【點睛】本題主要考查因式分解及整體思想，熟練掌握利用整體思維及因式分解求解整式的值．【題型3 整式的加減與冪的運算】【例3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）下列各式中，計算結(jié)果等于a2的是（???）A．a(chǎn)2?a3 B．a(chǎn)5÷a3 C．a(chǎn)2+a3 D．a(chǎn)5-a0【答案】B【分析】分別利用合并同類項法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則和冪的乘方運算法則分別計算即可．【詳解】解：a2?a3=a5，故選項A不符合題意；a5÷a3=a2，故選項B符合題意；a2+a3無法合并同類項，故選項C不符合題意；a5-a0=a5-1，故選項D不符合題意．故選B．【點睛】本題主要考查合并同類項法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則和冪的乘方運算法則，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）若x，y均為實數(shù)，43x=2021，47y=2021，則43xy?47xy= x+y；1x+1y= ．【答案】 2021 1【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法、積的乘方、冪的乘方等計算法則進行等量代換即可．【詳解】解：∵43x=2021，47y=2021∴(43x)y=2021y，(47y)x=20。