模型三、追及、相遇模型 【模型解題】一、 對(duì)運(yùn)動(dòng)圖象物理意義的理解1.一看“軸”:先要看清兩軸所代表的物理量，即圖象是描述哪兩個(gè)物理量之間的關(guān)系.2.二看“線”:圖象表示研究對(duì)象的變化過(guò)程和規(guī)律.在v-t圖象和x-t圖象中傾斜的直線分別表示物體的速度和位移隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)情況.3.三看“斜率”:?x-t圖象中斜率表示運(yùn)動(dòng)物體的速度大小和方向V-t圖象中斜率表示運(yùn)動(dòng)物體的加速度、大小和方向4.四看“面積”:即圖線和坐標(biāo)軸所圍的面積往往代表一個(gè)物理量，但也要看兩物體量的乘積有無(wú)意義.例如v和t的乘積vt=x有意義，所以v-t圖線與橫軸所圍“面積”表示位移，x-t圖象與橫軸所圍“面積"無(wú)意義5.五看“截段”，截距一般表示物理過(guò)程的初始情況，例如t=0時(shí)的位移或速度6.六看“特殊點(diǎn)”，例如交點(diǎn)、拐點(diǎn)，例如x-t圖像的交點(diǎn)表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇，v-t圖像的交點(diǎn)表示速度相等二、追及與相遇問(wèn)題1.分析追及問(wèn)題的方法技巧可概括為“一個(gè)臨界條件”、“兩個(gè)等量關(guān)系".(1)一個(gè)臨界條件:速度相等.它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷問(wèn)題的切入點(diǎn):(2)兩個(gè)等量關(guān)系:時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，通過(guò)畫(huà)草圖找出兩物體的時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系是解題的突破口.2.主要方法(1)臨界條件法:當(dāng)二者速度相等時(shí)，二者相距最遠(yuǎn)(最近).(3)數(shù)學(xué)判別式法:設(shè)相遇時(shí)間為1,根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的元二次方程，用判別式進(jìn)行討論，者s>0,即有兩個(gè)解，說(shuō)明可以相遇兩次:若0=0,說(shuō)明剛好追上或相遇;若A<0,說(shuō)明追不上或不能相遇.3.能否追上的判斷方法物體B追趕物體A:開(kāi)始時(shí)，兩個(gè)物體相距知若vr=vg時(shí)，xu+xoxp,?則不能追上.4.若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，-?-定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng).【模型訓(xùn)練】【例1】在水平地面上M點(diǎn)的正上方某一高度處，將S1球以初速度水平向右拋出，同時(shí)在M點(diǎn)右方地面上N點(diǎn)處，將S2球以初速度斜向左上方拋出，兩球恰在M、N連線的中點(diǎn)正上方相遇，不計(jì)空氣阻力，若兩球質(zhì)量相等，從拋出到相遇過(guò)程中（　?。〢．初速度大小關(guān)系為B．小球受到的沖量相等C．水平位移相同D．都不是勻變速運(yùn)動(dòng)【答案】B【詳解】AC．根據(jù)題意可知兩個(gè)小球水平方向位移大小相等，方向相反，根據(jù)可知水平方向分速度大小相等，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解可知故AC錯(cuò)誤；BD．兩個(gè)小球都只受重力，加速度為重力加速度不變，做勻變速運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)小球所受的沖量相等，相等，可知小球受到的沖量相等，故B正確，D錯(cuò)誤。

故選B變式1.1從高處以水平速度平拋小球，同時(shí)從地面以初速度豎直上拋小球，兩球在空中相遇，如圖所示下列說(shuō)法中正確的是（　?。〢．從拋出到相遇所用的時(shí)間為B．從拋出到相遇所用的時(shí)間為C．兩球拋出時(shí)的水平距離為D．兩球拋出時(shí)的水平距離為【答案】C【詳解】AB．小球在水平方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則相遇時(shí)，兩球在豎直方向的位移大小之和等于高度，即解得此過(guò)程中的時(shí)間也等于小球在水平方向的位移與初速度的比值故AB錯(cuò)誤；CD．兩球之間的水平距離為故C正確，D錯(cuò)誤變式1.2如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時(shí)水平拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間t在空中相遇，兩球從拋出到相遇下落的高度為h，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則兩球從拋出到相遇下落的高度為（　?。〢． B． C． D．【答案】B【詳解】?jī)汕蛲瑫r(shí)拋出，豎直方向均做自由落體運(yùn)動(dòng)，相等時(shí)間內(nèi)下降的高度相同，兩球始終在同一水平面上，相遇時(shí)水平方向滿足x＝vAt+vBt再次相遇時(shí)x不變，兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過(guò)的時(shí)間變?yōu)椋鶕?jù)可知兩球下落的高度是故選B例2】a、b兩車在同一平直公路上行駛，a做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩車的位置x隨時(shí)間t的變化如圖所示。

下列說(shuō)法正確的是（　?。〢．b車運(yùn)動(dòng)方向始終不變B．a(chǎn)、b兩車相遇一次C．到時(shí)間內(nèi)，a車的平均速度小于b車的平均速度D．到時(shí)間內(nèi)，某時(shí)刻a車的速度可能等于b車的速度【答案】D【詳解】A．圖線的斜率表示車的速度，斜率的正負(fù)表示速度方向，則b先沿正向運(yùn)動(dòng)后沿負(fù)向運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．兩條圖線有兩個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明a、b兩車相遇兩次，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．車的位移大小等于縱坐標(biāo)的變化量，根據(jù)題圖可知到時(shí)間內(nèi)，兩車通過(guò)的位移相同，時(shí)間也相等，所以平均速度相等，故C錯(cuò)誤；D．到時(shí)間內(nèi)，存在a車圖線切線斜率等于b車斜率的時(shí)刻，某時(shí)刻a車的速度可能等于b車的速度，故選項(xiàng)D正確變式2.1甲、乙兩物體在同一地點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示根據(jù)圖像提供的信息可知（　?。〢．6s末乙追上甲B．在乙追上甲之前，甲乙相距最遠(yuǎn)為8mC．8s末甲、乙兩物體相遇，且離出發(fā)點(diǎn)有32mD．在0～4s內(nèi)與4～6s內(nèi)甲的平均速度相等【答案】C【詳解】A．圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移，在0～6s內(nèi)，甲的位移乙的位移因此6s末乙未追上甲，故A錯(cuò)誤；B．當(dāng)兩者速度相等時(shí)，距離最遠(yuǎn)，即5s末距離最遠(yuǎn)，此時(shí)則最遠(yuǎn)距離故B錯(cuò)誤；C．6s以后，甲物體停止運(yùn)動(dòng)，因此相遇時(shí)，距離出發(fā)點(diǎn)32m，乙所用時(shí)間故C正確；D．根據(jù)圖像可知，在0～4s內(nèi)甲的平均速度在4～6s內(nèi)甲的平均速度故D錯(cuò)誤。

故選C變式2.2如圖所示是A、B兩物體沿同一直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程所對(duì)應(yīng)的位移—時(shí)間（）圖像則（　?。〢．時(shí)A、B兩物體相遇 B．時(shí)A物體運(yùn)動(dòng)速度為零C．內(nèi)B物體速度逐漸減小 D．內(nèi)A、B兩物體平均速度大小相等【答案】A【詳解】A．由圖像可知，時(shí)A、B處于同一位置，即兩物體相遇，故A正確；B．根據(jù)圖像的切線斜率表示速度，可知時(shí)A物體運(yùn)動(dòng)速度不為零，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)圖像的切線斜率表示速度，可知內(nèi)B物體速度逐漸增加，故C錯(cuò)誤；根據(jù)D．由圖像可知，內(nèi)A、B兩物體通過(guò)的位移大小不相等，則兩物體平均速度大小不相等，故D錯(cuò)誤例3】我國(guó)首顆超百容量高通量地球靜止軌道通信衛(wèi)星中星號(hào)衛(wèi)星，于北京時(shí)間2023年2月23日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，該衛(wèi)星主要用于為固定端及車、船、機(jī)載終端提供高速寬帶接入服務(wù)如圖中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運(yùn)行周期都為，兩星軌道相交于兩點(diǎn)，連線過(guò)地心，點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)下列說(shuō)法正確的是（　?。〢．中星26在點(diǎn)線速度與偵察衛(wèi)星在點(diǎn)線速度相等B．中星26與偵察衛(wèi)星可能相遇C．相等時(shí)間內(nèi)中星26與地球的連線掃過(guò)的面積大于偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過(guò)的面積D．相等時(shí)間內(nèi)中星26及偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過(guò)的面積相等【答案】C【詳解】A．由開(kāi)普勒第二定律可知，偵察衛(wèi)星在點(diǎn)速度最小，由于中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運(yùn)行周期都為，則中星26在點(diǎn)線速度大于偵察衛(wèi)星在點(diǎn)線速度，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)題意，由于中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運(yùn)行周期都為，由圖可知，中星26在下半周轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，偵察衛(wèi)星在上半周轉(zhuǎn)動(dòng)，中星26在上半周轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，偵察衛(wèi)星在下半周轉(zhuǎn)動(dòng)，則中星26與偵察衛(wèi)星不可能相遇，故B錯(cuò)誤；CD．根據(jù)題意可知，中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運(yùn)行周期都為，由開(kāi)普勒第三定律可知，中星26的軌道半徑等于偵察衛(wèi)星的半長(zhǎng)軸，令相等時(shí)間為周期，則中星26與地球的連線掃過(guò)的面積為圓的面積，偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過(guò)的面積為橢圓面積，由于圓的面積大于橢圓面積可知，相等時(shí)間內(nèi)中星26與地球的連線掃過(guò)的面積大于偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過(guò)的面積，故D錯(cuò)誤，C正確。

故選C變式3.1三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時(shí)刻A、B相距最近，如圖所示已知地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)1，B的運(yùn)行周期為T(mén)2，則下列說(shuō)法正確的是（　?。〢．A加速可直接追上同一軌道上的CB．經(jīng)過(guò)時(shí)間，A、B第一次相距最遠(yuǎn)C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度D．在相同時(shí)間內(nèi)，C與地心連線掃過(guò)的面積等于B與地心連線掃過(guò)的面積【答案】B【詳解】A．A加速將做離心運(yùn)動(dòng)脫離原軌道，則不能追上同一軌道上的C，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．A、B第一次相距最遠(yuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)時(shí)間選項(xiàng)B正確；C．根據(jù)可得A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D．衛(wèi)星B和衛(wèi)星C不在同一軌道上，則在相同時(shí)間內(nèi)，C與地心連線掃過(guò)的面積不等于B與地心連線掃過(guò)的面積，選項(xiàng)D錯(cuò)誤變式3.2如圖所示，有A、B兩個(gè)行星繞同一恒星O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T(mén)A，B行星的周期為T(mén)B，在某一時(shí)刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近），則（?????）A．經(jīng)過(guò)時(shí)間t =TA +TB，兩行星第二次相遇B．經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩行星第二次相遇C．經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)D．經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)【答案】BD【詳解】AB．衛(wèi)星A的周期較小，當(dāng)衛(wèi)星A比B多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，第二次追上，有解得故A錯(cuò)誤，B正確；CD．衛(wèi)星A比B多轉(zhuǎn)動(dòng)半圈時(shí)，第一次相距最遠(yuǎn)，有解得故C錯(cuò)誤，D正確；【例4】如圖所示，傾角=30°的光滑斜面固定在水平地面上，a滑塊從斜面項(xiàng)端由靜止釋放，同時(shí)b滑塊從斜面底端以初速度v0=5m/s沿斜面向上滑出，兩滑塊在斜面中點(diǎn)相遇，重力加速度g=10m/s，兩滑塊均可視為質(zhì)點(diǎn)。

則斜面的長(zhǎng)度為（　?。〢．1m B．2m C．5m D．10m【答案】C【詳解】?jī)苫瑝K均在光滑斜面上滑行，由牛頓第二定律可知，兩者的加速度都相同，有設(shè)相遇的時(shí)間為t，斜面長(zhǎng)度為L(zhǎng)，有聯(lián)立可得，故選C變式4.1如圖，傾斜角度的固定軌道與下方水平地面平滑連接，它們的表面材質(zhì)和工藝完全相同，軌道頂端高度為H=9m，有兩個(gè)完全相同的小滑塊A和B分別處于傾斜軌道頂部與底部某時(shí)刻突然給滑塊B一沿軌道向上的初速度使其上滑，并同時(shí)由靜止釋放滑塊A，當(dāng)B的速度減為0時(shí)恰好與A相遇已知滑塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，sin37°=0.6，重力加速度g取1）求B剛上滑時(shí)的加速度大小；（2）求B初速度大小v；（3）若B的初速度大小，其他條件不變，求從A由靜止釋放到A、B相遇經(jīng)歷的時(shí)間t答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）對(duì)B受力分析由牛頓第二定律有解得（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間相遇，由題意A、B的位移大小之和等于斜面長(zhǎng)度，對(duì)A受力分析由牛頓第二定律得得由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有，相遇時(shí)滿足聯(lián)立解得（3）結(jié)合第（2）問(wèn)可知，初速度變小，B減為0時(shí)還未與A相遇有設(shè)此時(shí)A、B運(yùn)動(dòng)的距離為分別為、，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得此時(shí)A的速度大小為此時(shí)A、B間距為此后兩者加速度相同，A相對(duì)B以做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)再經(jīng)時(shí)間相遇可得解得同時(shí)可得此時(shí)B下滑的距離為可得此時(shí)B仍在傾斜軌道上，符合條件，所以有變式4.2如圖，水平傳送帶以恒定速率向右運(yùn)動(dòng)。

長(zhǎng)度為傳送帶右端平滑連接足夠長(zhǎng)、傾角為的斜面現(xiàn)將滑塊A（看成質(zhì)點(diǎn)）無(wú)初速度地放在傳送帶的左端，已知滑塊A與傳送帶和斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，重力加速度g取，求：(1)滑塊A在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和在斜面上運(yùn)動(dòng)的最大距離；(2)當(dāng)滑塊A返回到斜面底端時(shí)，在傳送帶左端無(wú)初速放上另一個(gè)相同的滑塊B，試通。