2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（北京卷）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1.已知全集，集合，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】易得．2.若復(fù)數(shù)滿足，則 （A）1 （B）5 （C）7 （D）25【答案】B 【解析】由條件可知所以.3.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則 （A） （B） （C）1 （D） -1【答案】A【解析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，圓心坐標(biāo)，所以由解得．4.已知函數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】由可得所以得．5.已知函數(shù)，則 （A）在上單調(diào)遞減 （B）在上單調(diào)遞增 （C）在上單調(diào)遞減 （D）在上單調(diào)遞增 【答案】C 【解析】，選項(xiàng)A中：，此時(shí)單調(diào)遞增，選項(xiàng)B中：，此時(shí)先遞增后遞減，選項(xiàng)C中：，此時(shí)單調(diào)遞減，選項(xiàng)D中：，此時(shí)先遞減后遞增；所以選C.6.設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)”的（ ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】C【解析】① 充分性證明：若為遞增數(shù)列，則有對(duì)，，公差，取正整數(shù)（其中為不大于的最大正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，只要，都有；② 必要性證明：若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，對(duì)都成立 ，且 對(duì)，都有，，即：為遞增數(shù)列；所以“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充要條件 選C7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色東奧作出了貢獻(xiàn)，如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系，其中表示溫度，單位是；表示壓強(qiáng)，單位是.下列結(jié)論中正確的是（A）當(dāng)時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)（B）當(dāng)時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)（C）當(dāng)時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài) （D）當(dāng)時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài) 【答案】D 【解析】A選項(xiàng)：由圖易知處于固態(tài)；B選項(xiàng)：由圖易知處于液態(tài)；C選項(xiàng)：由圖易知處于固態(tài)；D選項(xiàng)：由圖易知處于超臨界狀態(tài)；所以選D8.若，則（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，①；當(dāng)時(shí)，時(shí)，②；①+②得原式9. 已知正三棱錐的6條棱長(zhǎng)均為6，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】過點(diǎn)P作底面射影點(diǎn)，則由題意，，當(dāng)上存在一點(diǎn)Q使得，此時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)在以為半徑，為圓心的圓里，所以面積為T9解析圖10.在中，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且=1，則的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，由題易知，設(shè) T10解析圖所以選D.【方法2】注意：，且其中，.選D二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11．函數(shù)的定義域是________．【答案】【解析】依題意解得．12．已知雙曲線的漸近線方程為，則________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，故．13．若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．【答案】；【解析】，解得．，故．14．設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的一個(gè)取值為 ，的最大值為________．【答案】（答案不唯一），1【解析】由題意知，函數(shù)最值于函數(shù)單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以為分界點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，該段的值域?yàn)?，故整個(gè)函數(shù)沒有最小值；當(dāng)時(shí)，該段值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，故此時(shí)的值域?yàn)?，即存在最小值為，故第一個(gè)空可填寫；當(dāng)時(shí)，，該段的值域?yàn)?，而的值域?yàn)?，若存在最小值，則需滿足，于是可得；當(dāng)時(shí)，，該段的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，若存在最小值，則需滿足，此不等式無(wú)解綜上，的取值范圍是，故的最大值為1.15．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)的和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3； ②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為________． 【答案】①③④【解析】，可得，又各項(xiàng)均為正，可得，令可得，可解得,故①正確；當(dāng)時(shí)，由得，于是可得，即，若為等比數(shù)列，則時(shí)，即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)則不成立，故②錯(cuò)誤；．可得，于是，所以，于是③正確；對(duì)于④，若所有項(xiàng)均大于等于，取，則，于是，與已知矛盾，所以④正確。

三、解答題共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程16.在中，sin2C=.（1）求（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)解答】（1）sin2C=，，，=2） ，，，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)為.17.（14分） 如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：； 條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，．在三棱柱中，，．因?yàn)椋?，分別為，，的中點(diǎn)，所以，，，，即且，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）選條件①：因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，而平面，所?由（Ⅰ）得，又因?yàn)?，所以，而，所?平面.在三棱柱中，兩兩垂直，故分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，，，所以，， ，設(shè)平面的法向量，由，，得 令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．選條件②：取中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)， 所以，，而，故.又因?yàn)?，所?在和中，，，公共邊，那么≌，因此，即，故.在三棱柱中，兩兩垂直，故分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?，則，，，，所以，， ，設(shè)平面的法向量，由，，得 令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為18.（本小題13分）在校運(yùn)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m（含9. 50m)以上的同學(xué)獲優(yōu)秀獎(jiǎng)。

為預(yù)測(cè)優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以行的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23丙：9.85，9,65，9.20，9.16假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立1）估計(jì)甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率解：由題意得：設(shè)甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A.比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績(jī)達(dá)到9.50以上的有：9.80,9.70.9.55,9.54四個(gè)所以，甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為p（A）= 0.4（2） 設(shè)x是甲、乙、丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX：解：X所有可能取值為0，1，2，3.甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(A)=0.4乙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件B, 則P(B)=0.5丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件C,則P(C)=0.5P（X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4(3) 在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）甲的平均數(shù)：（9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25）×0.1=9.479乙的平均數(shù)：（9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23）÷6≈9.457丙的平均數(shù)：（9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差：S2=[(9.8-9.479)2+……+（9.25-9.479)2]÷10=乙的方差：S2=[(9.78-9.457)2+……+(9.23-9.457)2]÷6=丙的方差：S2=[(9.85-9.465)2+……+(9.16-9.465)2]÷4=19.已知橢圓的一個(gè)定點(diǎn)為，焦距為。

I）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的值T19解析圖【答案】（I）；（Ⅱ）【解析】（I）依題意可知：，解得，故橢圓的方程為：；（Ⅱ）由題可設(shè)直線方程為：，，，聯(lián)立直線和橢圓方程：，可得，由可得 ，解得，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，；直線的斜率為，的直線方程為：，令，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)則有，代入韋達(dá)定理式子可得，化簡(jiǎn)可得：，即，可得|，兩邊平方則有，解得.故的值為.20．（本小題15分）已知函數(shù)．（I）求曲線在處的切線方程；（II）設(shè)，討論在上的單調(diào)性；（III）證明：對(duì)任意的，有．【答案】（I）；（II）在上單調(diào)遞增；（III）見解析．【解析】（I）由題，，故，，因此，曲線在處的切線方程為；（II）由（I），，，則，設(shè)，則，故在上遞增，故，因此對(duì)任意恒成立，故在上單調(diào)遞增；另解：，由于，故，，，因此，對(duì)任意恒成立，故在上單調(diào)遞增；（III）設(shè)，則，由（II）在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，因此，在上遞增，故，因此，對(duì)任意的，有．評(píng)析：本題將指對(duì)函數(shù)以乘法的方式聯(lián)系到一起，構(gòu)思新穎第（II）判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可以求二階導(dǎo)，也可以直接放縮處理；第（III）問采用主元法，借助（II）的結(jié)論可以快速得到結(jié)果．21.（本小題15分）己知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中存在，使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)列．（I）判斷是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；（II）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為4；（III）若為連續(xù)可表數(shù)列，，求證：．【答案】（I）是連續(xù)可表數(shù)列，不是連續(xù)可表數(shù)列；（II）、（III）見解析．分析：本題的關(guān)鍵就是：理解“數(shù)列中的連續(xù)若干項(xiàng)的和可以表達(dá)任意的”【解析】（I）若，則對(duì)于任意，，，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；由不存在任意連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為6，所以不是連續(xù)可表數(shù)列；（II）反證法：假設(shè)的值為3，則最多能表示共6個(gè)數(shù)字，與為連續(xù)可表數(shù)列矛盾，故；現(xiàn)構(gòu)造可以表達(dá)出這8個(gè)數(shù)字，即存在滿足題意，故的最小值為4；（III）用反正法證明：假設(shè)，①不妨取，因?yàn)闉?0—可表數(shù)列，且，所以有一項(xiàng)必為負(fù)數(shù),所以最多有5項(xiàng)是正數(shù).（i）假設(shè)6項(xiàng)中，1項(xiàng)是負(fù)數(shù)，5項(xiàng)是正數(shù)，從6個(gè)整數(shù)中，取一個(gè)數(shù)字只能表示自身，共6個(gè)數(shù)字，取兩個(gè)數(shù)字能表示5個(gè)數(shù)字，取三個(gè)數(shù)字能表示4個(gè)數(shù)字，取四個(gè)數(shù)字能表示3個(gè)數(shù)字，取五個(gè)數(shù)字能。