黃燈亮多久 在交通管理中，定期的亮一段黃燈是為了讓那些正行駛在交叉路口上或距交叉路口太近以致無法停下的駕駛員有機(jī)會(huì)在黃燈亮的時(shí)候通過路口如果汽車的法定速度為 ，交叉路口寬度為 ，典型的車身長(zhǎng)度為 ，地面的摩擦系數(shù)為 ，試問黃燈點(diǎn)亮的時(shí)間多長(zhǎng)為好呢？ 應(yīng)用背景相關(guān)知識(shí)點(diǎn) 1.函數(shù)最大(小)值的求法 2.高階可降階微分方程的解法 3.微分方程的幾何應(yīng)用和簡(jiǎn)單物理應(yīng)用 解題方法 通過建立汽車剎車的微分方程，求出汽車通過剎車距離、路口寬度和一個(gè)車身的行駛時(shí)間，再求黃燈亮?xí)r的最小值，解決黃燈亮?xí)r問題 解題過程 第一步 ： 駛近交叉路口的駕駛員看到黃燈信號(hào)時(shí)首先要作出決定：是停車還是通過路口如果選擇停車，他必須有足夠的停車距離；如果選擇通過路口，他必須有足夠的時(shí)間安全通過路口 設(shè)駕駛員作出決定的反應(yīng)時(shí)間為 ，通過剎車距離的時(shí)間為 ，通過路口和一個(gè)車身距離的時(shí)間為 ，黃燈點(diǎn)亮的時(shí)間為 解題過程第二步 ： 因此，如果取則選擇剎車的駕駛員可以在剎車距離內(nèi)安全停車；選擇通過路口的駕駛員也有足夠時(shí)間安全通過路口。

所以最佳點(diǎn)亮黃燈時(shí)間就歸結(jié)為求上述 的最小值 假設(shè)汽車以法定速度 通過路口由于 為常數(shù)，而 ，所以只有 是需要進(jìn)一步求得的 解題過程第三步 ： 下面先計(jì)算剎車距離. 設(shè)車輛的重量為 ，車輛剎車時(shí)，水平方向只受到摩擦力 作用，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反設(shè)剎車后，汽車走過的位移 ，根據(jù)牛頓第二定律有如下的微分方程： （1） 解題過程其中 為重力加速度，負(fù)號(hào)是因?yàn)樗俣扰c摩擦力方向相反，從而 . 解題過程第四步 ：（2） 由于車停下后速度為零，所以在（2）式中令 得到汽車自剎車至停下所用的時(shí)間 在 的條件下，對(duì)（2）式再積分得到 對(duì)（1）式積分得（3） 從而剎車距離 （4） 解題過程第五步 ： 由（4）式得 ，所以 . 對(duì) 關(guān)于 求導(dǎo)數(shù),令 得到駐點(diǎn) ，所以當(dāng) 時(shí)， 有極小值 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 借助于Mathematica可以描繪出 關(guān)于 的圖像假設(shè) s ， m ， m 。

另外，我們將接受公路工程師提出的具有代表性的數(shù)據(jù) . 在Mathematica軟件中輸入如下程序：Plot[v/(2*0.2*9.8)+(5+10)/v+1, {v, 0, 30}]Plot[v/(2*0.2*9.8)+(5+10)/v+1, {v, 0, 30}]運(yùn)行后得到如下 關(guān)于 的圖像，其中 的單位為：m/ss） （m/s） 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 當(dāng) 、45、60、75（km/h ），也即約8.3，12.5， 16.7，20.8（m/s ）時(shí)， 的值如下表所示： （km/h） (s)經(jīng)驗(yàn)法(s)304.922455.393606.164757.035數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 表中的“經(jīng)驗(yàn)法”是按如下“經(jīng)驗(yàn)”得到：對(duì)法定的迫近速度的每個(gè)15 km/h亮黃燈1秒我們注意到，經(jīng)驗(yàn)法的結(jié)果一律比我們預(yù)測(cè)的黃燈狀態(tài)短些這使人想起，許多交叉路口的設(shè)計(jì)很可能使車輛在綠燈轉(zhuǎn)為紅燈時(shí)正處在交叉路口上 順便地，我們還可以求得使 取最小值時(shí)的法定速度 7.67（m/s）＝27.6（km/h），此時(shí) ＝4.91s 進(jìn)一步的問題 即使給了充分的停車時(shí)間，仍有許多駕駛員企圖加速想搶在紅燈亮之前沖過交叉路口。

但駕駛員們并不知道什么時(shí)候紅綠燈轉(zhuǎn)為紅燈有一種“倒數(shù)”型的紅綠燈可以部分地解決這個(gè)問題，在黃燈亮的最后幾秒鐘內(nèi)，黃燈上顯示出一竄倒著數(shù)的數(shù)字，它們準(zhǔn)確地警告駕駛員紅綠燈何時(shí)將變?yōu)榧t色這種系統(tǒng)在我國(guó)的部分城市正使用著，它成功地降低了事故發(fā)生率。