2024年長(zhǎng)沙縣初中八年級(jí)學(xué)科素養(yǎng)競(jìng)賽數(shù) 學(xué)(問(wèn)題卷)時(shí)量: 90分鐘 總分: 100分請(qǐng)考生注意：答題卡上填寫考生信息，將答案填寫在答題卡上，考試完畢后只需交答題卡一、填空題(本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分)1. 已知 x=12+1, 那么x2+2x-3的值是 .2. 若分式方程 ax+2=1?3x+2的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是 .3. 已知 a?b=4,ab+c2+4=0,則 a+c?的值為 .4. 已知: a=1100,b=1101, 則 b?aab?a+b?1 的值是 .5. 已知關(guān)于y的不等式組 5y?m2>14y?2≤2y+1有且僅有2個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)m的值分別為 .6.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,對(duì)角線BD=16,∠BDC=60°,將長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，點(diǎn)M 是線段BD上一點(diǎn)，則. EM+12BM的最小值是 .7. 甲、乙、丙三人進(jìn)行智力搶答活動(dòng)，規(guī)定：第一個(gè)問(wèn)題由乙提出，由甲、丙搶答.以后在搶答過(guò)程中若甲答對(duì)1題，就可提6個(gè)問(wèn)題，乙答對(duì)1題就可提5個(gè)問(wèn)題，丙答對(duì)1題就可提4個(gè)問(wèn)題，供另兩人搶答.搶答結(jié)束后，總共有16個(gè)問(wèn)題沒(méi)有任何人答對(duì)，則甲、乙、丙答對(duì)的題數(shù)分別是 .8. 若x是自然數(shù), x+13和x-72都是完全平方數(shù), 那么x= .二、選擇題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分)9.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為16，底邊上的高為4，則這個(gè)等腰三角形底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)的比值為( )A. 2:3 B. 3:4 C. 4:5 D. 6:510. 已知一列數(shù)a?,a?,a?,…, a?,…中,( a1=0,a2=3a1+1,a3=3a2+1,,an+1=3an+1,……則 a????+a????的個(gè)位數(shù)字是( )A. 1 B. 3 C. 5 D. 7八年級(jí)競(jìng)賽 第 1頁(yè) 共 4頁(yè)11. 小龍、小軍和小康三人在甲、乙、丙三所不同的學(xué)校讀書，唱歌、閱讀、繪畫是三人的不同愛(ài)好. 并且知道：①小龍不在甲校讀書，小軍不在甲校讀書，也不在丙校讀書；②在甲校讀書的同學(xué)愛(ài)好唱歌，愛(ài)好繪畫的同學(xué)不在丙校讀書. 根據(jù)以上信息，下列選項(xiàng)中正確的是( )A. 小龍?jiān)谝倚Ｗx書，愛(ài)好閱讀 B. 小龍?jiān)诒Ｗx書，愛(ài)好繪畫C. 小軍在乙校讀書，愛(ài)好繪畫 D. 小康在甲校讀書，愛(ài)好閱讀12.如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的一點(diǎn)H重合(H 不與端點(diǎn)C，D重合)，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，邊AB折疊后與邊BC交于點(diǎn)G.設(shè)正方形ABCD的周長(zhǎng)為m，△CHG的周長(zhǎng)為n，則 mn的值為( )A. 2 B. 2 C.5+1 D. 隨H 點(diǎn)位置的變化而變化三、解答題(共5個(gè)題, 8+10+10+12+12, 共計(jì)52分)13.(本小題滿分8分)如圖,已知RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分線分別交BC,CD于E、F.(1) 求證: △CEF 是等腰三角形.(2) 若點(diǎn)E恰好在線段AB的垂直平分線上，試探究線段AC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系.14.(本小題滿分10分)【閱讀理解】對(duì)一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式. 例如，由圖 1可以得到完全平方公式： x+y2=x2+2xy+y2,這樣的方法稱為“面積法”.八年級(jí)競(jìng)賽 第 2頁(yè) 共 4 頁(yè)【解決問(wèn)題】(1) 如圖2，利用上述“面積法”，可以得到數(shù)學(xué)等式： a+b+c2=.(2) 利用(1) 中所得到的等式，解決下面的問(wèn)題：①已知 a+b+c=8,ab+bc+ac=17.求 a2+b2+c2的值.②若m、n滿足如下條件： n?20212+2023?2n2+n+12=m2?2m?20,(n-2021)(2023-2n)+(n-2021)(n+1)+(2023-2n)(n+1)=2+m, 求m的值.【應(yīng)用遷移】如圖3,△ABC中, AB=AC,點(diǎn)O為底邊 BC 上任意一點(diǎn)，( OM⊥AB,ON⊥AC,CH⊥AB,垂足分別為M, N, H, 連接AO.若( OM=1.2,ON=2.5,利用上述“面積法”，求CH的長(zhǎng).15.(本小題滿10分) 如圖1，已知點(diǎn)D是等邊. △ABC中BC邊上的點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作. ∠ADF=60°,DF與 △ABC的外角 ∠ACE的平分線交于點(diǎn)F.(1) 求證: AD=DF;(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，請(qǐng)寫出BC，CD，CF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.八年級(jí)競(jìng)賽 第 3 頁(yè) 共 4 頁(yè)16.(求小題榜分12分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其右側(cè)作等邊三角形APQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2) 在坐標(biāo)軸是否存在一點(diǎn)G，△GOB為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出G 點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3) 連接BQ,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與O重合)時(shí), ∠OBQ的值會(huì)發(fā)生變化嗎? 若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠OBQ的值，若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.17.(本小題滿分12分)若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x、y、z滿足：若其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x、y、z構(gòu)成“星城數(shù)組”、例如：因?yàn)?12、15、13的倒數(shù)能夠滿足 2+3=5,所以數(shù)組 12、15、13構(gòu)成“墾城數(shù)組”、(1) 下列三組數(shù)構(gòu)成“星城數(shù)組”的有 ；(填序號(hào)) ①1、2、3; ②1、12、13; ③3+1、33、3?1,(2) 若 kt、kt+1、kt+2k≠0構(gòu)成“星城數(shù)組”、求實(shí)數(shù)t的值；(3) 若“星城數(shù)組”滿足以下兩個(gè)條件： Φ1x1+1x2=1x3②點(diǎn) Px1x1x2到原點(diǎn)的距離記為n；若關(guān)于m的不等式 m+13m?6+120,∴nn=-5.…8分 3∵SΔABc=SABO+SΔAOc,∴12AB?CH=12AB?OM+12AC?ON.∵AB=AC,OM=1.2,ON=2.5,∴CH=1.2+2.5=3.7.………………………………………10分15.(1) 證明: 如圖,過(guò)點(diǎn)D作DH//AC, 交AB邊于點(diǎn)H,連接DH,則:∵△ABC 是等邊三角形 ∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°, BA=BC∵DE∥AC, ∴∠BDH=∠BCA=60°, ∠BHD=∠BAC=60°,∴∠BDH=∠BHD=60°,∴∠B=∠BDH=∠BHD=60°, ∴△BDH 是等邊三角形,∴BD=BE, ∠AHD=120°∵BA=BC, BH=BD, ∴BA-BH=BC-BD, AH=DC∵∠BHD=60°,∴∠AHD=120°,∵CF是△ABC的外角∠ACE 的平分線,∴∠ACF=60°,∴∠DCF=120°,∴∠AHD=∠DCF,∵∠ADF=60°, ∠BDH=60°, ∴∠ADH+∠FDC=60°,∵∠ADH+∠DAH=∠BHD=60°,∴∠DAH=∠FDC,在△AHD和△DCF中, ∠AHD=∠DCFAH=DC∠HAD=∠CDF,∴△AHD?△DCF(ASA),∴AD=DF,………………………………4分(2)解:CF=CD+BC……………………………………………6分理由如下: 作DG//AC交DF于G,則∠CGD=∠ACF=60°, ∠CDG=∠ACB=60°,∴△CDG為等邊三角形,∠ACD=∠FGD=120°,∴CG=CD=DG,∵∠BDA+∠ADG=60°,∠FDG+∠ADG=60°,∴∠BDA=∠FDG,在△ACD和△FGD中,八年級(jí)答案 第 2 頁(yè) 共 4 頁(yè)∴AC=FG,∴BC=FG,∴CF=CG+GF=CD+BC.…………………………………………………………………………1。