數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案 第1頁(yè)（共 10 頁(yè)）2023 年泉州市普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽年泉州市普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽 參參 考考 答答 案案 一、填空題：本題共一、填空題：本題共 15 小題，每小題小題，每小題 6 分，共分，共 90 分1設(shè)集合3|10 xAxx，2320|Bx xx，則AB=_【答案】【答案】2【解析】【解析】由013xx得13x，則13|Axx，又21,B，因此 2AB 2已知23x，39log2y，則1yx_【答案】【答案】2【解析】【解析】223log 3xx，所以33319log 2loglog 922yx 3已知數(shù)列na滿(mǎn)足11a，*11()(1)nnnna aaann nN，則na _【答案】【答案】21nn 【解析】【解析】由11(1)nnnna aaan n，得111111(1)1nnaan nnn，故111111nnanan，即11nan為常數(shù)列，得1111121nana，所以21nnan 4若3sin()35x，且5(,)66x ，則sin(2)3x_【答案】【答案】2425【解析】【解析】因?yàn)?(,)66x ，所以,32 2x ，又3sin35x，所以4cos35x，所以23424sin(2)sin(2)2sin()cos()2()33335525xxxx 5記,max,a aba bb ab則函數(shù)2()max|1|,|5|f xxx的最小值為_(kāi)【答案】【答案】1【解析】【解析】令212()1,()5f xxfxx，則兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn),A B C D，根據(jù)()f x的定義可知()f x的圖象是圖中實(shí)線的部分，易知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值，由方程215xx ，解得3,2DBxx，所以()(2)1Bf xf 6 設(shè),a b為實(shí)數(shù)，且0ab，虛數(shù)z為方程20axbxa的一個(gè)根，則|1i|z 的最大值為_(kāi) yx532123DCBAO數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案 第2頁(yè)（共 10 頁(yè)）【答案】【答案】21【解析】【解析】因?yàn)閦和z為實(shí)系數(shù)二次方程02abxax的兩個(gè)共軛虛根，由韋達(dá)定理知1az za，即12z，所以1z，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z是復(fù)平面中以0,0O為圓心，半徑1r 的圓上的點(diǎn)，1iz 可 以 看 成 點(diǎn)Z與 定 點(diǎn))1,1(A的 距 離，當(dāng) 且 僅 當(dāng)22i22z 時(shí)，1iz 取 最 大 值21AOr 7 已知函數(shù)(1)yf x的圖象關(guān)于直線1x 對(duì)稱(chēng)，當(dāng)0 x 時(shí)，1()exf x，設(shè)10a，1cos52b，22tan201tan20c，則(),(),()f af bf c的大小關(guān)系為_(kāi)（請(qǐng)用“0，1，由MPMQ，得1211xx，1241yy ，由PNNQ，得1201xxx，1201yyy 15 分 將對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得：222121212021111xxxxxxx，222121212024111yyyyyyy，而2222112244,44xyxy，所以22222221212002224()4(1)1444111xxyyxy，即001640 xy，所以點(diǎn)00(,)N xy在直線:1640lxy上，20 分 所以|RN的最小值即R到直線l的距離d，其中10284 257257d，這時(shí)，(4,0)N在雙曲線右支內(nèi)，符合題意，所以RN的最小值為4 257 25 分 20(25 分)已知多項(xiàng)式1110()nnnf xxaxa xa（1）若3n，且()0f x 有三個(gè)正實(shí)數(shù)根123,x xx，證明：3201282727aaa a；（2）對(duì)一般的正整數(shù)4n，若15na，212na，318na，(04)iain R，證明：方程()0f x 的根不全是正實(shí)數(shù)【解析】【解析】證明：（1）方法一：由韋達(dá)定理有：123212132311230,xxxax xx xx xax x xa 5 分 要證的結(jié)論：3320121231231231213238272782727aaa axxxx x xxxxx xx xx x 333222222123123121321233132863xxxx x xx xx xx xx xx xx x，又33312312312322 36xxxx x xx x x，故只需證明3332222221231213212331322 xxxx xx xx xx xx xx x 易知當(dāng)13ij 時(shí)，23322323200ijijjiiijjjiijijxxx xx xxx xxx xxxxx，數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案 第10頁(yè)（共 10 頁(yè)）而最后一式顯然成立，因此原結(jié)論成立 10 分 方法二：由韋達(dá)定理有：123212132311230,xxxax xx xx xax x xa 5 分 又3333333123123111311133633iiijijiiijiiijiiijxxx xxxx x xxxx xx x x ，由冪平均不等式：33331133iiiixx，得33331119iiiixx，所以33333123111131339iiiijiiiijxxxx xx x x ，將韋達(dá)定理代入得33222101()()3()39aaaaa，整理即得3201282727aaa a 10 分 方法三：由韋達(dá)定理得123212132311230,pxxxaqx xx xx xarx x xa 5 分 由 Schur（舒爾）不等式知23pq，3297prpq，所以326ppq，362721prpq，所以382727prpq，即3201282727aaa a 10 分（2）反證法：假設(shè)方程()0f x 的根全是正實(shí)數(shù)，設(shè)這n個(gè)正實(shí)根為12,nx xx 由韋達(dá)定理有：1115,12,18,niiijij nijkij k nxx xx x x 則33111112536nniiijijijkiiij nij k nxxx xxxx x x 3111133nniiijijkiiij nij k nxxx xx x x 20 分 33113 5 123 18126125nniiiixx ，矛盾，故原結(jié)論成立 25 分 。