第01講 尋找規(guī)律教學目標l 發(fā)現(xiàn)排列規(guī)律，并依據(jù)規(guī)律填寫數(shù)字或算式知識梳理 按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列如自然數(shù)列：1，2，3，4，……雙數(shù)列：2，4，6，8，……我們研究數(shù)列，目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并依據(jù)這個規(guī)律來填寫空缺的數(shù)觀察是解決問題的根據(jù)通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認為是正確的對于較復雜的按規(guī)律填數(shù)的問題，我們可以從以下幾個方面來思考： 1.對于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調整思路，換一種方法再分析； 2.對于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關，這是我們解這類題的突破口 3.對于找到的規(guī)律，應該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式。

典例分析考點一:發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律例1、填上合適的數(shù)1）3，6，9，12，（ ），（ ）（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）（3）2，6，18，54，（ ），（ ）【解析】（1）前一個數(shù)加上3就等于后一個數(shù)，也就是相鄰兩個數(shù)的差都是3.根據(jù)這一規(guī)律，可以后推知括號里填15和18. （2）第一個數(shù)增加1等于第二個數(shù)，第二個數(shù)增加2等于第三個數(shù)，也就是每相鄰兩個數(shù)的差依次是1,2,3,4....，這樣下一個數(shù)應比11大5，填16；再下一個數(shù)應比16大6，填22.（3）后一個數(shù)是前一個數(shù)的3倍，162和486例2、找出規(guī)律，再在括號里填上合適的數(shù)1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）（3）3，4，7，3，4，10 , 3 , 4 ,13，（ ），（ ）（4）187，286，385，（ ），（ ）【解析】（1）第一個數(shù)減3是第三個數(shù)，第三個數(shù)減3是第5個數(shù)，第二、第四、第六個數(shù)不變應填6,2. （2）第一個數(shù)減3是第三個數(shù)，第三個數(shù)減3是第5個數(shù)；第二個數(shù)加1是第四個數(shù)，第四個數(shù)加1是第六個數(shù)。

應填12, （3）每三個為一組，每組中的前兩個數(shù)都是3,4，每組的第三個數(shù)都等于前一組第三個數(shù)加上3的和填3, 4，16（4）每個數(shù)十位上的數(shù)字8不變，百位上的數(shù)字依次是1,2,3....,個位上的數(shù)字依次是7,6,5.....，并且百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的和是8，應填484,583例3、 1，1，2，3，5，8，13，（?? ），34，55……中，括號里應填什么數(shù)？【解析】經仔細觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和根據(jù)這一規(guī)律，括號里應填的數(shù)為：8+13=21或34－13=21上面這個數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”例4、下面每個括號里的兩個數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當?shù)臄?shù)8，4）（5，7）（10，2）（□，9）【解析】經仔細觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個括號里的兩個數(shù)相加的和都是12根據(jù)這一規(guī)律，□里所填的數(shù)應為：12－9=3考點二：發(fā)現(xiàn)規(guī)律填寫圖形內空缺的數(shù)例1、根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律，填入適當?shù)臄?shù)510914712111691413（1） 9327124363612（3） 【解析】（1）橫著看，圖形中右邊的數(shù)比左邊的數(shù)多5；豎著看，下面的數(shù)比上面的數(shù)多4；斜著看，和相等。

根據(jù)這一規(guī)律，應填18.（2）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)前兩個圖形中的數(shù)之間有這樣的關系:4×8÷2=16,7×8÷4=14，也就是說中心的數(shù)等于上面的數(shù)與左下方的數(shù)的乘積除以右下方的數(shù)9×4÷3=12，應填12（3）因為9x(9÷3)=27，12x(12÷4)=36，所以36x(36÷12)=108例2、按規(guī)律填數(shù)23312541412346433524【解析】 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)前兩個圖形里的數(shù)之間有一定的聯(lián)系：左上方的數(shù)十位上的數(shù)字和右上方的數(shù)個位上的數(shù)字分別與下面的數(shù)的千位、個位上的數(shù)字相同，左上方的數(shù)十位上的數(shù)字分別與右上方的數(shù)十位上的數(shù)字之和與下面的數(shù)百位上的數(shù)字相同，左上方的數(shù)個位上的數(shù)字與右上方的數(shù)個位上的數(shù)字之和與下面的數(shù)十位上的數(shù)字相同根據(jù)這一規(guī)律，應填3594.例3、根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當?shù)臄?shù)解析】經仔細觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：12+6=18，8+7=15，即每一橫行中間的數(shù)等于兩邊的兩個數(shù)的和依此規(guī)律，空格中應填的數(shù)為：4+8=12例4、根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數(shù)？【解析】經仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個圈中三個數(shù)之間有這樣的關系：5×12÷10=6??? 4×20÷10=8根據(jù)這一規(guī)律，第三個圈中右下角應填的數(shù)為：8×30÷10=24.考點三：根據(jù)規(guī)律速求復雜算式的值例1、先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后幾題的得數(shù)。

12345679×9=??? ? 12345679×18= 12345679×54=??????? 12345679×81=【解析】題中每個算式的第一個因數(shù)都是12345679，它是有趣的“缺8數(shù)”，與9相乘，結果是由九個1組成的九位數(shù)，即：111111111不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)律是：只要看每道算式的第二個因數(shù)中包含幾個9，乘積中就包含幾個111111111因為：12345679×9=111111111所以：12345679×18=12345679×9×2=22222222212345679×54=12345679×9×6=666666666? 12345679×81=12345679×9×9=999999999.例2、找規(guī)律計算1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63（2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45 （3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□【解析】6:；3；27經仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)與交換它的十位、個位數(shù)字位置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個位數(shù)字的差乘9，所得的積就是這兩個數(shù)的差。

例3、計算（1）26×11??? （2）38×11【解析】一個兩位數(shù)與11相乘，只要把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和插入這兩個數(shù)字中間，就是所求的積1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418注意：如果兩個數(shù)字的和滿十，要向前一位進一例4、下面數(shù)列的每一項由3個數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…問：第100個數(shù)組內3個數(shù)的和是多少？【解析】分析一：數(shù)組的第1個分量依次是：1，2，3…構成等差數(shù)列，所以第 100個數(shù)組中的第 1個數(shù)為100；數(shù)組的第2個分量 3，6，9…也構成等差數(shù)列，所以第100個數(shù)組中的第2個數(shù)為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以，第100個數(shù)組內三個數(shù)的和為100+300+500=900解：　第100個數(shù)組內三個數(shù)的和為100+300+500=900分析二：以不去求組里的三個數(shù)而直接求和，考察各組的三個數(shù)之和第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18　第3組：3+ 9+ 15= 27…，9，18，27…構成一等差數(shù)列，第100項為9×100=900，即第100個數(shù)組內三個數(shù)的和為900。

解：9×100=900，即第100個數(shù)組內三個數(shù)的和為900考點四：用周期規(guī)律解決數(shù)學問題例1、 求67999的個位數(shù)字解析】因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)　　999÷4＝249……3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3例2、求291+3291的個位數(shù)字解析】因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22……3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72……3，　所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5例3、求下式除法運算所得的余數(shù)：　　555÷3解析】因為a÷3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：　　注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與1×5=5除以3的余數(shù)相同。

這是因為52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與1×5除以3的余數(shù)相同由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)由55÷2=27……1知，555÷3的余數(shù)與51÷3的余數(shù)相同，等于2例4、某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？【解析】1時后有1×3=31（個）細菌，2時后有31×3=32（個）細菌……20時后，有320個細菌，所以本題相當于“求320÷7的余數(shù)”將3的各次方除以7的余數(shù)列表，由表看出，3n÷7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)由20÷6＝3……2知，320÷7的余數(shù)與32÷7的余數(shù)相同，等于2所以最后還剩2個細菌最后再說明一點，an÷b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內必會重復出現(xiàn) 實戰(zhàn)演練 ? 課堂狙擊1、在括號內填上合適的數(shù)1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）（3）2，8，32，128，（ ），（ ）【解析】（1）12；14（2）26;37 （3）512;2048 2、按規(guī)律填數(shù)。

1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）【解析】（1）8;1 （2）81;2 （3） 9;6 3、找出排列規(guī)律，在空缺處填上適當?shù)臄?shù)37598121014121614（1）【解析】（1）18 （2）16；通過觀察可以發(fā)現(xiàn)前兩個圖形中的數(shù)之間有這樣的關系:7×8÷。