2021年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：題型全歸納與高效訓(xùn)練突破專題8.4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)目錄一、考點(diǎn)全歸納1．直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面?l⊥α3.空間角(1)直線與平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．②線面角θ的范圍：θ∈．(2)二面角①定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．兩個(gè)半平面叫做二面角的面．如圖的二面角，可記作：二面角α-l-β或二面角P-AB-Q．②二面角的平面角如圖，過二面角α-l-β的棱l上一點(diǎn)O在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作BO⊥l，AO⊥l，則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．③二面角的范圍設(shè)二面角的平面角為θ，則θ∈[0，π]．④當(dāng)θ＝時(shí)，二面角叫做直二面角．【常用結(jié)論】1．線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化2．兩個(gè)重要定理(1)三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．(2)三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．3．重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．二 題型全歸納題型一 線面垂直的判定與性質(zhì)【題型要點(diǎn)】(1)判定線面垂直的四種方法(2)判定線線垂直的四種方法類型一　線面垂直的證明【例1】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高．求證：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.【證明】　(1)因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因?yàn)锳B∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接MD，ME.因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME綊AB.又因?yàn)镈F綊AB.所以ME綊DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD.因?yàn)镻D＝AD，所以MD⊥PA.因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因?yàn)镻A∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.類型二　線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用【例2】如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【證明】(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC.題型二 面面垂直的判定與性質(zhì)【題型要點(diǎn)】(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是：先尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明．(2)證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實(shí)現(xiàn)．(3)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件．【例1】(2020·衡水中學(xué)模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．【解析】(1)證明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝，因?yàn)镻C＝2，BC＝1，PB＝，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；因?yàn)椤螦BC＝90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PE⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)E，如圖所示．由(1)知BC⊥平面PAB，因?yàn)锽C?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.又平面PAB∩平面ABCD＝AB, PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD，因?yàn)樵赗t△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝.因?yàn)榈酌鍭BCD是直角梯形，所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD＝××(1＋2)×1×＝.【例2】.如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.【證明】　(1)法一：取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.又E為PB的中點(diǎn)，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD.所以CE∥平面PAD.法二：連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD.又因?yàn)镃F∩EF＝F.故平面CEF∥平面PAD.又因?yàn)镃E?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA，又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可得AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.題型三 平行與垂直的綜合問題類型一 探索性問題中的平行與垂直關(guān)系【通法歸納】處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置，再給出證明．探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或n等分點(diǎn)中的某一個(gè)，需根據(jù)相關(guān)的知識確定點(diǎn)的位置．【技巧要點(diǎn)】對命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明．途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題　 【例1】(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說明理由．【解】(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因?yàn)锳E?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE.取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)G，EG.則FG∥AB，且FG＝AB.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE＝AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形．所以CF∥EG.因?yàn)镃F?平面PAE，EG?平面PAE，所以CF∥平面PAE.【例2】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求證：C1E∥平面ADF；(2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM⊥平面ADF.(1)【證明】：連接CE交AD于O，連接OF.因?yàn)镃E，AD為△ABC的中線，則O為△ABC的重心，故＝＝，故OF∥C1E，因?yàn)镺F?平面ADF，C1E?平面ADF，所以C1E∥平面ADF.(2)當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF.證明如下：因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，故平面B1BCC1⊥平面ABC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面B1BCC1，又CM?平面B1BCC1，故AD⊥CM.又BM＝1，BC＝2，CD＝1，F(xiàn)C＝2，故Rt△CBM≌Rt△FCD.易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD?平面ADF，故CM⊥平面ADF.又CM?平面CAM，故平面CAM⊥平面ADF.類型二 折疊問題中的平行與垂直關(guān)系【通法歸納】解決平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變”．(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變．【例2】如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q-ABP的體積．【解析】(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AC，垂足為E，則QE∥DC且QE＝DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝×S△ABP×QE＝。