第13講 三角形面積計(jì)算教學(xué)目標(biāo)l 教學(xué)目標(biāo) 掌握三角形的面積計(jì)算公式；l 學(xué)會(huì)使用拆補(bǔ)法求解三角形面積；l 通過題目中給定比例關(guān)系求解面積比知識(shí)梳理 計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)系，會(huì)使你感到無從下手這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的基本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)到目的有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑典例分析 例1、已知圖12－1中，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求陰影部分的面積ABCFED12－1【解析】陰影部分為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無法直接計(jì)算由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積因?yàn)锽D=BC，所以S△BDF＝2S△DCF又因?yàn)锳E＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF因此，S△ABC＝5S△DCF。

由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），則陰影部分的面積為： 1.6×2＝3.2（平方厘米）例2、在△ABC中（圖12-2），BD=DE=EC，CF：AC=1：3若△ADH的面積比△HEF的面積多24平方厘米，求三角形ABC的面積是多少平方厘米？【解析】△ADH的面積比△HEF的面積多24平方厘米，則三角形ADE的面積比三角形FDE的面積多24平方厘米，又因三角形FDE和三角形FEC的面積相等，也就是說三角形AEC比三角形FEC的面積多24平方厘米，又因多出的24平方厘米,是三角形AEC的面積的23，12-2所以三角形AEC的面積是24÷2/3=36平方厘米，則三角形ABC的面積是36÷1/3=108(平方厘米)，答：三角形ABC的面積是108平方厘米例3、兩條對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，如圖12－3所示，已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？【解析】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面積為： 6÷2＝3BCDAO12-3126 答：△AOD的面積是3例4、四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米求四邊形ABCD的面積（如圖12－4所示）12－4ABCDEF【解析】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍 15×3＝45（平方厘米） 答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米例5、如圖12－5所示，BO＝2DO，陰影部分的面積是4平方厘米那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？BADCOE12－5【解析】因?yàn)锽O＝2DO，取BO中點(diǎn)E，連接AE根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，類推可得每個(gè)三角形的面積。

所以： S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米 S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）答：梯形ABCD的面積是18平方厘米例6、如圖18－17所示，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積解析】連接AE仔細(xì)觀察添加輔助線AE后，使問題可有如下解法12－6 由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半（16÷2）＝8用8減去3得到三角形ABE的面積為5同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn)，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面積為16－3－4－2.5＝6.5例7、如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分△AOB的面積是2平方千米，△COD的面積是3平方千米，公園陸地面積為6.92平方千米，那么人工湖的面積是多少平方千米？【解析】由△BOC與△DOC等高h(yuǎn)1，△BOA與△DOA等高h(yuǎn)2， 利用面積公式：，，得BO：DO=2：3， 即，又得。

則湖的面積為：（平方千米）實(shí)戰(zhàn)演練 ? 課堂狙擊1、如圖所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米求陰影部分的面積ABCFDE【解析】陰影部分為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無法直接計(jì)算由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積 30÷5×2＝12平方厘米2、如圖所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米求三角形ABC的面積CBDAEF【解析】 5×3÷＝22平方厘米BCDAO843、兩條對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，（如圖所示），已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？【解析】 4÷2＝2 8÷2＝4CBDAEF·G4、如圖所示，已知四邊形ABCD的對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影部分面積為15平方厘米求四邊形ABCD的面積解析】 15×4＝60平方厘米5、如圖所示， AD=6，CG=4；求陰影部分的面積。

ABCD為正方形） GABCDE64【解析】 6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米 （6+3）×6÷2＝27平方厘米6、如圖所示，陰影部分面積是4平方厘米，OC＝2AO求梯形面積BADCO【解析】 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米 16+8+8+4＝36平方厘米ABCDEF7、如圖18－18所示，長方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米，三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積解析】 20÷2－7＝3 3×＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5 ? 課后反擊1、如圖所示，AE=ED，DC＝BD，S△ABC＝21平方厘米求陰影部分的面積解析】陰影部分為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無法直接計(jì)算。

ABCFED由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積 21÷7×3＝9平方厘米2、已知三角形AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長度為OD的3倍求梯形ABCD的面積BCDAO【解析】 15×3＝45 15+5+15+45＝803、已知S△AOB＝6平方厘米OC＝3AO，求梯形的面積（如圖所示）DBACO【解析】 6×（3+1）＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32ABCDFE4、如圖18－19所示，長方形ABCD的面積為20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面積解析】 20÷2＝10 （10－4）×＝2 20－6－4－2＝75、底邊長為6厘米，高為9厘米的等腰三角形20個(gè)，迭放如下圖：每兩個(gè)等腰三角形有等距離的間隔，底邊迭合在一起的長度是44厘米．回答下列問題：　?。?）兩個(gè)三角形的間隔距離；　?。?）三個(gè)三角形重迭（兩次）部分的面積之和；　?。?）只有兩個(gè)三角形重迭（一次）部分的面積之和；（4）迭到一起的總面積．【解析】（1）從圖中可看出，有（20-1=）19個(gè)間隔，每個(gè)間隔距離是（44-6）÷19=2（厘米）．（2）觀察三個(gè)三角形的迭合．畫橫行的兩個(gè)三角形重疊畫井線是三個(gè)三角形重疊部分，它是與原來的三角形一般模樣，但底邊是原來三角形底的（2厘米），高也是原來三角形高的（3厘米），所以面積為（cm2）．每三個(gè)連著的三角形重疊產(chǎn)生這樣的一個(gè)小三角形，每增加一個(gè)大三角形，就多產(chǎn)生個(gè)一個(gè)三次重疊的三角形，而且與前一個(gè)不重疊．因此這樣的小三角形共有20-2=18（個(gè)），面積之和是3×18=54（cm2）。

3）每兩個(gè)連著的三角形重疊分，也是原來的三角形一般模樣的三角形，底邊是原來三角形的，高是原高的，因此面積是.每增加一個(gè)大三角形就產(chǎn)生一個(gè)小三角形．共產(chǎn)生20-1=19（個(gè)），面積19×12=228（cm2）．所求面積228-54×2=120（cm2）（4）20個(gè)三角形面積之和，減去重疊分，其中120cm2重疊次，54cm2重疊次． 直擊賽場 1、圖中ABCD是梯形，AECD是平行四邊形，則陰影部分的面積是( )平方厘米（圖中單位：厘米）解析】 陰影部分的面積等于以12為底以10為高的平行四邊形面積的一半， 即12×10÷2=60（平方厘米）2、如圖，已知長方形ABCD的面積是24平方厘米，三角形ABE的面積是5平方厘米，三角形AFD的面積是6平方厘米，那么三角形AEF的面積是（ ）平方厘米解析】 連結(jié)長方形對(duì)角線AC，可知S△ABC=S△ACD=12（平方厘米）．　　 因?yàn)镾△AFD=6（平方厘米），所以。