2021年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：題型全歸納與高效訓(xùn)練突破專題6.4 數(shù)列求和與數(shù)列綜合目錄一、題型全歸納 1題型一 分組轉(zhuǎn)化求和 1題型二 錯(cuò)位相減法求和 3題型三 裂項(xiàng)相消法求和 6題型四 并項(xiàng)求和 8題型五 數(shù)列與其他知識(shí)的交匯 9類型一．?dāng)?shù)列與不等式的交匯問題 9類型二．?dāng)?shù)列與三角函數(shù)的綜合 10類型三．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合 11類型四．?dāng)?shù)列中的新定義問題 12類型五．?dāng)?shù)列中的新情境問題 13二、高效訓(xùn)練突破 14一、題型全歸納題型一 分組轉(zhuǎn)化求和【題型要點(diǎn)】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和；(2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．　 【例1】(2020·山東五地5月聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足關(guān)于x的不等式a1x2－S2x＋2<0的解集為(1，2)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n＋2an－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】見解析【解析】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式a1x2－S2x＋2<0的解集為(1，2)，所以＝1＋2＝3，得a1＝d，又易知＝2，所以a1＝1，d＝1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)可得，a2n＝2n，2an＝2n.因?yàn)閎n＝a2n＋2an－1，所以bn＝2n－1＋2n，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝n2＋2n＋1－2. 【例2】(2020·信陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為(　　)A．1121 B．1122 C．1123 D．1124【答案】C【解析】由題意知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為＋10×1＋×2＝1123.【例3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】見解析【解析】：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝2n＋1－2＋－n＝2n＋1－－.所以Tn＝題型二 錯(cuò)位相減法求和【題型要點(diǎn)】利用錯(cuò)位相減法的一般類型及思路(1)適用的數(shù)列類型：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q≠1的等比數(shù)列．(2)思路：設(shè)Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，(*)則qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，(**)(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和．【易錯(cuò)提醒】：用錯(cuò)位相減法求和時(shí)容易出現(xiàn)以下兩點(diǎn)錯(cuò)誤：(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆]有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào)．(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n－1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和．　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】(2020·天津市部分區(qū)聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且a1＝1，a3＋a4＝12，b1＝a2，b2＝a5.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝(－1)nanbn(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】見解析【解析】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＝1，a3＋a4＝12，所以2a1＋5d＝12，所以d＝2，所以an＝2n－1.設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎1＝a2，b2＝a5，所以b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，所以q＝3，所以bn＝3n.(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n，所以cn＝(－1)n·an·bn＝(－1)n·(2n－1)·3n＝(2n－1)·(－3)n，所以Sn＝1·(－3)＋3·(－3)2＋5·(－3)3＋…＋(2n－1)·(－3)n，①所以－3Sn＝1·(－3)2＋3·(－3)3＋…＋(2n－3)·(－3)n＋(2n－1)·(－3)n＋1，②①－②得，4Sn＝－3＋2·(－3)2＋2·(－3)3＋…＋2·(－3)n－(2n－1)·(－3)n＋1＝－3＋－(2n－1)·(－3)n＋1＝－·(－3)n＋1.所以Sn＝－·(－3)n＋1. 【例2】(2020·石家莊模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＝3an－1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】見解析【解析】：(1)由2Sn＝3an－1，①得2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，②①－②，得2an＝3an－3an－1，所以＝3(n≥2)，又2S1＝3a1－1，2S2＝3a2－1，所以a1＝1，a2＝3，＝3，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1.(2)由(1)得，bn＝，所以Tn＝＋＋＋…＋，③Tn＝＋＋…＋＋，④③－④得，Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝－，所以Tn＝－.題型三 裂項(xiàng)相消法求和【題型要點(diǎn)】1．幾種常見的裂項(xiàng)相消及解題策略(1)常見的裂項(xiàng)方法(其中n為正整數(shù))數(shù)列裂項(xiàng)方法(k為非零常數(shù))＝＝＝(－)(a>0，a≠1)＝loga(n＋1)－logan{an}為等差數(shù)列，公差為d(d≠0)，＝(2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使前后相等．【例1】(2020·江西八所重點(diǎn)高中4月聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】見解析【解析】　(1)證明：因?yàn)閍n＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－，為常數(shù)．因?yàn)閍1＝1，所以＝－1，所以數(shù)列{}是以－1為首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知＝－1＋(n－1)(－)＝－，所以an＝2－＝，所以bn＝＝＝＝1＋＝1＋(－)，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－)＝n＋(1－)＝n＋，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝n＋.【例2】(2020·石家莊模擬)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a2＋a3＝12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】【解析】　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由a2＋a3＝12，a1＝1，得q＋q2＝12，解得q＝3或q＝－4.因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以q>0，所以q＝3，所以an＝3n－1.(2)因?yàn)閎n＝＝＝，所以Sn＝＝＝－.題型四 并項(xiàng)求和【題型要點(diǎn)】用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和一般是指把數(shù)列的一些項(xiàng)合并組成我們熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列來求和．可用并項(xiàng)求和法的常見類型：一是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào)；二是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有符號(hào)因子“(－1)n”；三是數(shù)列{an}是周期數(shù)列．【易錯(cuò)提醒】運(yùn)用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的突破口是會(huì)觀察數(shù)列的各項(xiàng)的特征，如本題，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝(－1)n，易知數(shù)列{bn}是擺動(dòng)數(shù)列，所以求和時(shí)可以將各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)合并．　【例1】(2020·福建寧德二檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值為－9.(1)確定k的值，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(－1)n·an，求數(shù)列{bn}的前2n＋1項(xiàng)和T2n＋1.【答案】見解析【解析】：(1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，因?yàn)閗∈N*，則當(dāng)n＝k時(shí)，(Sn)min＝－k2＝－9，故k＝3.所以Sn＝n2－6n.因?yàn)镾n－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]＝2n－7(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－5，滿足an＝2n－7，綜上，an＝2n－7.(2)依題意，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)，則T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5－…＋(－1)2n(4n－7)＋(－1)2n＋1[2(2n＋1)－7]＝5－＝5－2n.【例2】(2020·河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟測(cè)評(píng))已知等差數(shù)列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S2n.【答案】見解析【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2＋2，a4，a6－2成等比數(shù)列，所以a＝(a2＋2)(a6－2)，所以(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2)，又a3＝3，所以(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，化簡(jiǎn)得d2－2d＋1＝0，解得d＝1，所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n.(2)由(1)得，bn＝＝(－1)n＝(－1)n(＋)，所以S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)＝－1＋＝.題型五 數(shù)列與其他知識(shí)的交匯類型一．?dāng)?shù)列與不等式的交匯問題【例1】(2020·廣東深圳二模)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn＋Sn－1－2SnSn－1＝2nan，則使得S1S2…Sm≥2 019成立的正整數(shù)m的最小值為________．【答案】1 009【解析】　因?yàn)镾n＋Sn－1－2SnSn－1＝2nan(n≥2)，所以Sn＋Sn－1－2SnSn－1＝2n(Sn－Sn－1)(n≥2)，所以(2n＋1)Sn－1－(2n－1)Sn＝2SnSn－1(n≥2)．易知Sn≠0，所以－＝2(n≥2)．令bn＝，則bn－bn－1＝2(n≥2)，又b1＝＝＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2n－1，所以＝2n－1，所以Sn＝.所以S1S2…Sm＝3××…×＝2m＋1≥2 019，所以m≥1 009.即使得S1S2…Sm≥2 019成立的正整數(shù)m的最小值為1 009.【題后升華】解決本題的關(guān)鍵：一是細(xì)觀察、會(huì)構(gòu)造，即通過觀察所給的關(guān)于Sn，an的關(guān)系式，思考是將Sn往an轉(zhuǎn)化，還是將an往Sn轉(zhuǎn)化；二是會(huì)解不等式，把求出的相關(guān)量代入已知不等式，轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的不等式，解不等式即可求出參數(shù)的最小值．　 類型二．?dāng)?shù)列與三角函數(shù)的綜合【例2】(2020·安徽安慶4月聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝.(1)求角A的大?。?2)若等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1sin A＝1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。