專題26 反比例函數(shù)與幾何綜合題型歸納（解析版）類型一 反比例函數(shù)與三角形綜合1．（2022秋?嵐山區(qū)校級期末）如圖，直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點，∠OAB＝30°，點A在反比例函數(shù)y=6x（x＞0）的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為（　?。〢．y=?1x B．y=?2x C．y=?4x D．y=?6x思路引領(lǐng)：直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出S△BCOS△AOD=13，進而得出S△AOD＝3，即可得出答案．解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，∵∠BOA＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，∴△BCO∽△ODA，∴BOAO=tan30°=33，∴S△BCOS△AOD=（33）2=13，∵點A在反比例函數(shù)y=6x上，∴xy＝6，∵12×AD×DO=12xy＝3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD＝1，∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：y=?2x．故選：B．總結(jié)提升：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出S△AOD＝2是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?金水區(qū)校級期末）如圖，已知直角三角形ABO中，AO=3，將△ABO繞點O點旋轉(zhuǎn)至△A'B'O的位置，且A'在OB的中點，B'在反比例函數(shù)y=kx上，則k的值為 　 ?。悸芬I(lǐng)：連接AA′，作B′E⊥x軸于點E，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AOA′是等邊三角形，從而得出∠AOB＝∠A′OB′＝60°，即可得出∠B′OE＝60°，解直角三角形求得B′的坐標(biāo)，進一步求得k＝3．解：連接AA′，作B′E⊥x軸于點E，由題意知OA＝OA′，A'是OB中點，∠AOB＝∠A′OB′，OB′＝OB，∴AA′=12OB＝OA′，∴△AOA′是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴OB＝2OA＝23，∠B′OE＝60°，∴OB′＝23，∴OE=12OB′=3，∴B′E=3OE＝3，∴B′（1，3），∵B'在反比例函數(shù)y=kx上，∴k＝1×3＝3．故答案為：3．總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）如圖，△ABC是等腰三角形，AB過原點O，底邊BC∥x軸，雙曲線y=kx過A，B兩點，過點C作CD∥y軸交雙曲線于點D，若S△BCD＝16，則k的值是 　 ?。悸芬I(lǐng)：過點A作AE∥y軸，交BC與點E，設(shè)點A（a，ka）則B（﹣a，?ka），可表示出BC和DC的長度，又S△BCD=12×BC?CD＝16，即可求出k的值．解：過點A作AE∥y軸，交BC與點E，設(shè)點A（a，ka）則B（﹣a，?ka），∴BE＝2a，∵△ABC是等腰三角形，底邊BC∥x軸，CD∥y軸，∴BC＝4a，∴點D的橫坐標(biāo)為3a，∴點D的縱坐標(biāo)為k3a，∴CD=k3a+ka=4k3a，∵S△BCD=12×BC?CD＝16，∴12×4a×4k3a=16，∴k＝6，故答案為：6．總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，能夠利用k表示出BC和CD的長度是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023?南海區(qū)校級模擬）如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，過點A1，A2，A3，A4，A5分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)y=2x(x≠0)的圖象相交于點P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并設(shè)其面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，則S2022＝　 ．思路引領(lǐng)：設(shè)OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，利用反比例的解析式和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征求得點P1，P2，P3，P4，P5的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），進而得到每個小直角三角形的高，依據(jù)每個小直角三角形的底均為m，利用三角形的面積公式即可求得S1，S2，S3，S4，S5的值，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．解：設(shè)OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，則P1（m，2m），P2（2m，22m），P3（3m，23m），P4（4m，24m），P5（5m，25m），∴P1A1=2m，P2A2=22m，P3A3=23m，P4A4=24m，P5A5=25m，∴S1=12×m?2m=1，S2=12×m?22m=12，S3=12×m?23m=13，S4=12×m?24m=14，S5=12×m?25m=15，由此可得S2022=12×m?22022m=12022，故答案為：12022．總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，利用線段的長度得到相應(yīng)點的坐標(biāo)和利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?橋西區(qū)校級期末）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖像與反比例函數(shù)y2=k2x(x＞0)的圖像相交于A（m，6），B（6，1）兩點，且與x軸，y軸交于點M，N．（1）填空：k2＝　 　；m＝ ?。辉诘谝幌笙迌?nèi)，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍為 　 ；（2）連接OA，OB，求△AOB的面積；（3）點E在線段AB上，過點E作x軸的垂線，交反比例函數(shù)圖像于點F，若EF＝2，求點F的坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：（1）先把B（6，1）代入y2=k2x(x＞0)可求出k2＝6，再把A（m，6）代入y2=6x，求得m＝1，再結(jié)合圖象可判斷出x的取值范圍；（2）根據(jù)S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM可求解；（3）設(shè)設(shè)點E的坐標(biāo)為（a，﹣a+7），則點F的坐標(biāo)為（a，6a），構(gòu)建方程求出a的值即可．解：（1）把B（6，1）代入y2=k2x(x＞0)得，1=k26∴k2＝6，∴反比例函數(shù)解析式為y2=6x，把A（m，6）代入y2=6x，得m＝1，∴A（1，2），由圖象得，在第一象限內(nèi)，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍為1＜x＜6．故答案為：6；1；1＜x＜6；（2）把A（1，6）和B（6，1）代入y1＝k1x+b中，得k1+b=66k1+b=1，解得k1=?1b=7，∴直線AB的表達(dá)式為y1＝﹣x+7，當(dāng)y＝0時，x＝7∴M（7，0），∴S△AOB=S△AOM?S△BOM=12OM×|yA|?12OM×|yB|=352；（3）設(shè)點E的坐標(biāo)為（a，﹣a+7），則點F的坐標(biāo)為(a，6a)，∴EF=a+7?6a，又EF＝2，∴?a+7?6a=2，解得a1＝2，a2＝3，∴點F的坐標(biāo)為（2，3）或（3．，2）．總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法函數(shù)的解析式，三角形的面積的計算，正確地求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?龍泉驛區(qū)期末）某班在“圖形與坐標(biāo)”的主題學(xué)習(xí)中，第四學(xué)習(xí)小組提出如下背景“如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個邊長為2的等邊三角形ABC沿x軸平移（邊AB在x軸上，點C在x軸上方），其中A（a，0），三角形ABC與反比例函數(shù)y=23x（x＞0）交于點D，E兩點（點D在點E左邊）”，讓其他小組提出問題，請你解答：（1）第一小組提出“當(dāng)a＝2時，求點D的坐標(biāo)”；（2）第二小組提出“若AD＝CE，求a的值”；（3）第三小組提出“若將點E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至點E′，點E′恰好也在y=23x（x＞0）上，求a的值”．思路引領(lǐng)：（1）過點C作CF⊥AB交于點F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求C（3，3），再由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，直線AC與反比例函數(shù)的交點即為D點；（2）過點C作CF⊥AB交于點F，則C（a+1，3），B（a+2，0），通過聯(lián)立方程求出D、E點坐標(biāo)，再由AD＝CE，建立方程求出a的值即可；（3）連接CE'，通過證明△ACE'≌△ABE（SAS），可得AB∥E'C，求出E'（a2+4a?4?1，3），再由E'點在反比例函數(shù)圖象上，求出a的值即可．解：（1）當(dāng)a＝2時，A（2，0），過點C作CF⊥AB交于點F，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝60°，∴C（3，3），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴2k+b=03k+b=3，解得k=3b=?23，∴y=3x﹣23，當(dāng)3x﹣23=23x時，解得x＝1+3或x＝1?3（舍），∴D（1+3，3?3）；（2）過點C作CF⊥AB交于點F，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝60°，∴C（a+1，3），B（a+2，0），可求直線AC的解析式為y=3x?3a，直線BC的解析式為y=?3x+3a+23，當(dāng)3x?3a=23x時，解得x=a+a2+82或x=a?a2+82（舍），∴D點橫坐標(biāo)為a+a2+82，∴AD=?a+a2+82?1cos60°=?a+a2+8當(dāng)?3x+3a+23=23x時，解得x=a+2+a2+4a?42或a+2?a2+4a?42（舍），∴E點的橫坐標(biāo)是a+2+a2+4a?42，∴BE=a+2?a2+4a?42?1cos60°=a+2?a2+4a?4，∵AD＝CE，∴﹣a+a2+8=2﹣a﹣2+a2+4a?4，解得a＝3；（3）連接CE'，∵AE＝AE'，AC＝AB，∠CAE'＝∠BAE，∴△ACE'≌△ABE（SAS），∴∠ACE'＝∠ABE＝60°，EB＝E'C，∵∠CAB＝60°，∴AB∥E'C，∵C（a+1，3），BE＝a+2?a2+4a?4，∴E'（a2+4a?4?1，3），∵E'在函數(shù)y=23x上，∴3（a2+4a?4?1）＝23，解得a＝﹣2+17或a＝﹣2?17（舍），∴a＝﹣2+17．總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?南山區(qū)期末）如圖：△AOB為等腰直角三角形，斜邊OB在x軸上，S△OAB＝4，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A交y軸于點C，反比例函數(shù)y2=kx（x＞0）的圖象也經(jīng)過點A．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若CD＝2AD，求△COD的面積；（3）當(dāng)y1＜y2時對應(yīng)的自變量的取值范圍是 　 　．（請直接寫出答案）思路引領(lǐng)：（1）過點A分別作AM⊥x軸于M，根據(jù)三角形面積求得OA，進而即可求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法從而得出答案；（2）通過證得△OCD∽△MAD，得出OC的長，即可求得點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，進而求得點D的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式可得答案；（3）根據(jù)圖象即可求解．解：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M，AN⊥x軸于N，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∵S△OAB＝4，∴12OA?AB=12OA2＝4，∴OA＝22，∴AM＝OM＝2，∴點A（2，2），∵反比例函數(shù)y2=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，∴k＝2×2＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y2=4x；（2）∵AM⊥y軸于M，∴AM∥OC，∴△OCD∽△MAD，∴OCAM=CDAD，∴CD＝2AD，∴OC＝2AM＝4，∴C（0，﹣4），一次函數(shù)y1＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過點C、D，∴2a+b=2b=?4，解得。