第20講 抽屜原理學(xué)習(xí)目標(biāo)l ①理解抽屜原理的基本概念、基本用法；l ②掌握用抽屜原理解題的基本過(guò)程；l ③能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；l ④利用最不利原則進(jìn)行解題；；l ⑤利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問(wèn)題知識(shí)梳理 一、知識(shí)點(diǎn)介紹抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來(lái)并用來(lái)證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也被稱為狄利克雷原則．抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問(wèn)題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用．許多看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜，甚至無(wú)從下手的問(wèn)題，在利用抽屜原則后，能很快使問(wèn)題得到解決二、抽屜原理的定義一般情況下，把n＋1或多于n＋1個(gè)蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋(píng)果我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理三、抽屜原理的解題方案1、利用公式進(jìn)行解題蘋(píng)果÷抽屜＝商……余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)＝1， 結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里 （2）余數(shù)＝， 結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里 （3）余數(shù)＝0， 結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里2、利用最值原理解題將題目中沒(méi)有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說(shuō)的極限思想“任我意”方法、特殊值方法。

典例分析 考點(diǎn)一：直接利用公式解題例1、只鴿子要飛進(jìn)個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有只，一定有一個(gè)籠子里有只鴿子．對(duì)嗎？、例2、人的頭發(fā)平均有12萬(wàn)根，如果最多不超過(guò)20萬(wàn)根，那么13億中國(guó)人中至少有?????? 人的頭發(fā)的根數(shù)相同例3、“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人．試說(shuō)明：在游園的小朋友中，至少有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．例4、在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被整除？例5、求證：對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)數(shù)a，b，c，d，e，f，使得是105的倍數(shù)．例6、某班有16名學(xué)生，每個(gè)月教師把學(xué)生分成兩個(gè)小組．問(wèn)最少要經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，才能使該班的任意兩個(gè)學(xué)生總有某個(gè)月份是分在不同的小組里?例7、一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣 1分，不答不得分問(wèn)：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競(jìng)賽？考點(diǎn)二：構(gòu)造抽屜利用公式進(jìn)行解題例1、在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他六個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個(gè)球，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣．你能說(shuō)明這是為什么嗎？例2、從1，2，3……，2010，2011這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4？例3、時(shí)鐘的表盤(pán)上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1，2，3，…，11，12這12個(gè)數(shù)，在其上任意做n個(gè)120°的扇形，每一個(gè)都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)覆蓋的數(shù)不全相同．如果從這任做的n個(gè)扇形中總能恰好取出3個(gè)覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)，求n的最小值． 例4、有蘋(píng)果和桔子若干個(gè)，任意分成堆，能否找到這樣兩堆，使蘋(píng)果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？考點(diǎn)三：最不利原則例1、“走美”主試委員會(huì)為三～八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題．每個(gè)年級(jí)道題，并且至少有道題與其他各年級(jí)都不同．如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)次．本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備 道決賽試題．例2、在張卡片上不重復(fù)地編寫(xiě)上~，請(qǐng)問(wèn)至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出卡片上的數(shù)相乘后之乘積可被整除？例3、從1，2，3，4，5，……，99，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明： （1）在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)； （2）在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差等于50； （3）在這51個(gè)數(shù)中，一定存在9個(gè)數(shù)，他們的最大公約數(shù)大于1.實(shí)戰(zhàn)演練 ? 課堂狙擊1、年級(jí)一班學(xué)雷鋒小組有人．教數(shù)學(xué)的張老師說(shuō)：“你們這個(gè)小組至少有個(gè)人在同一月過(guò)生日．”你知道張老師為什么這樣說(shuō)嗎？2、五年級(jí)數(shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，他們?cè)跀?shù)學(xué)小組中都有一些朋友，請(qǐng)你說(shuō)明：至少有兩名同學(xué)，他們的朋友人數(shù)一樣多．3、四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別被除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同，請(qǐng)說(shuō)明理由．4、幼兒園買(mǎi)來(lái)許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問(wèn)：至少有多少個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？5、從1至2013這2013個(gè)自然數(shù)中最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得其中任意的兩數(shù)都不連續(xù)且差不等于4？6、在米長(zhǎng)的水泥陽(yáng)臺(tái)上放盆花，隨便怎樣擺放，請(qǐng)你說(shuō)明至少有兩盆花它們之間的距離小于米．7、一個(gè)口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒。

如果你閉上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？8、一個(gè)口袋里分別有紅、黃、黑球4，7，8個(gè)，為保證取出的球中有6個(gè)同色，則至少要取小球______個(gè)? 課后反擊1、向陽(yáng)小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問(wèn)：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？2、求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)．3、100個(gè)蘋(píng)果最多分給多少個(gè)學(xué)生，能保證至少有一個(gè)學(xué)生所擁有的蘋(píng)果數(shù)不少于12個(gè).4、從、、、、、這個(gè)偶數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有個(gè)數(shù)的和是？ 5、請(qǐng)證明：在1，4，7，10，…，100中任選20個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)其和都等于104.6、從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)不同的數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．7、從1，2，3，……，49，50這50個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)數(shù)，使其中任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，則最多能取出多少個(gè)數(shù)？8、有紅、黃、藍(lán)、白4色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里．一次摸出小球8個(gè)，其中至少有幾個(gè)小球的顏色是相同的？9、一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？直擊賽場(chǎng) 1、(第十屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽) 一次測(cè)驗(yàn)共有10道問(wèn)答題，每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確，得3分，回答完全錯(cuò)誤或不回答，得0分．至少____人參加這次測(cè)驗(yàn)，才能保證至少有3人得得分相同．2、(走美杯初賽)袋中有外形安全一樣的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各10個(gè)，每個(gè)小朋友只能從中摸出1個(gè)小球，至少有______個(gè)小朋友摸球，才能保證一定有兩個(gè)人摸的球顏色一樣．3、(春蕾杯決賽) 從、、、、、、、、、、和中至多選出 個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍． 4、(清華附中入學(xué)測(cè)試) 6、如圖，在時(shí)鐘的表盤(pán)上任意作個(gè)的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋個(gè)數(shù)，且每?jī)蓚€(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤(pán)上的數(shù)．并舉一個(gè)反例說(shuō)明，作個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立．重點(diǎn)回顧 抽屜原理的定義：一般情況下，把n＋1或多于n＋1個(gè)蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋(píng)果。

我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理名師點(diǎn)撥 抽屜原理的解題方案1、利用公式進(jìn)行解題蘋(píng)果÷抽屜＝商……余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)＝1， 結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里 （2）余數(shù)＝， 結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里 （3）余數(shù)＝0， 結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里2、利用最值原理解題將題目中沒(méi)有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說(shuō)的極限思想“任我意”方法、特殊值方法．學(xué)霸經(jīng)驗(yàn) ? 本節(jié)課我學(xué)到? 我需要努力的地方是。