專題04 一元二次方程根的判別式的應(yīng)用及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用（原卷版）類型一 根的判別式的應(yīng)用（1）利用判別式判斷方程根的情況1．（2022?濟(jì)源校級模擬）定義運(yùn)算：m△n＝mn2﹣2mn﹣1．例如：4△2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．則方程2△x＝0的根的情況為（　　）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．以上結(jié)論都不對2．（2022春?平潭縣期末）對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情況為（　　）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．無實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判定（2）利用判別式求字母系數(shù)的值或取值范圍3．（2021春?文登區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2?kx+2＝0有兩個實數(shù)解，求k的取值范圍　 ?。?．（2018?南通）若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2mx﹣4m+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值為 　 ．（3）根據(jù)字母系數(shù)判斷方程根的情況5．（2022?焦作模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝2x+m不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的實數(shù)根的情況為（　?。〢．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷6．（2022秋?福鼎市期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a﹣b+c＝0，則它有一根為﹣1；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若b＝2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根；其中正確的 　 　．類型二 根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用（1）利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值7．（2022秋?電白區(qū)期中）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2+2m+n的值等于（　　）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2021秋?余干縣校級月考）已知α，β是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式（α﹣2020）（β﹣2020）＝　 　．9．（2001?咸寧）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的兩實數(shù)根，則代數(shù)式x2x1+x1x2=　 ?。?0．（2022秋?新田縣期中）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）A．2026 B．2027 C．2028 D．202911．（2022秋?羅莊區(qū)校級月考）閱讀理解：法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別是x1和x2，那么x1+x2=?ba，x1x2=ca．例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=?ba=?32，x1x2=ca=?52．請同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問題：（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝　113　，x1x2＝　?73??；（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2．①求x12+x22的值；②求x12﹣5x2+1的值．（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求待定系數(shù)的值或取值范圍12．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一個根比另一個根大2，則m的值為（　?。〢．2 B．m＞0 C．1 D．013．（2019秋?博白縣期中）已知a≥3，m，n為x2﹣2ax+2＝0的兩個根，則（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是　 ?。?4．（2018秋?海淀區(qū)期中）已知xy≠1，且有3x2+2018x+9＝0及9y2+2018y+3＝0，則xyx2+y2的值為（　?。〢．12018 B．2018 C．3 D．310類型三 一元二次的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用15．（2021秋?黔東南州期末）關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）﹣p2＝0（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（　?。〢．兩個正根 B．兩個負(fù)根 C．一個正根，一個負(fù)根 D．無實數(shù)根16．（2022?泰山區(qū)校級二模）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝k，則直線y＝kx+b必定經(jīng)過的象限是（　?。〢．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四17．（2020秋?岫巖縣月考）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別為x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=?ba，x1x2=ca可得利用上述結(jié)論來解答下列問題：（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的兩個根為m，n，則m+n＝ 　 ，mn＝　　 ；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩根x1、x2是斜邊長為5的直角三角形兩直角邊長，求k的值．19．（2022秋?郾城區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根：（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第二邊BC的長為4，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．20．（2018秋?嘉善縣期末）已知實數(shù)a、b，滿足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8．（1）求a+b和ab的值；（2）求1a2+1b2的值．21．（2020?浙江自主招生）已知關(guān)于x的方程（a2﹣1）（xx?1）2﹣（2a+7）（xx?1）+1＝0有實根．（1）求a取值范圍；（2）若原方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1x1?1+x2x2?1=311，求a的值．22．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期中）閱讀理解：材料1：對于一個關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求該多項式的取值范圍外，愛思考的小川同學(xué)還想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y(tǒng)（a≠0），然后移項可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判別式來確定y的取值范圍，請仔細(xì)閱讀下面的例子：例：求x2+2x+5的取值范圍；解：令x2+2x+5＝y(tǒng)∴x2+2x+（5﹣y）＝0∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0∴y≥4∴x2+2x+5≥4．材料2：在學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后，愛思考的小川同學(xué)又想到仿造一元二次方程的解法來解決一元二次不等式的解集問題，他的具體做法如下：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2（x1＞x2）則關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集為：x≥x1或x≤x2則關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集為：x2≤x≤x1請根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）若關(guān)于x的二次三項式x2+ax+3（a為常數(shù)）的最小值為﹣6，則a＝　 ?。唬?）求出代數(shù)式3x2+6x?21?3x的取值范圍；（3）若關(guān)于x的代數(shù)式5mx?nx2?x+2（其中m、n為常數(shù)且m≠0）的最小值為﹣4，最大值為7，請求出滿足條件的m、n的值．。