濟(jì)南市學(xué)林教育培訓(xùn)學(xué)校12.1 變量與函數(shù)[變量和常量]在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常量[函數(shù)]一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù)如果當(dāng)時，那么叫做當(dāng)自變量的值為時的函數(shù)值[自變量取值范圍的確定方法]1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義當(dāng)解析式為整式時，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；當(dāng)解析式為分?jǐn)?shù)形式時，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實數(shù)；當(dāng)解析式中含有二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于等于0的所有實數(shù)2、自變量的取值范圍必須使實際問題有意義[函數(shù)的圖像]一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．[描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟]第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。

[函數(shù)的表示方法]列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系12.2.1 變量與函數(shù)[正比例函數(shù)] 一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)（proportional function），其中k叫做比例系數(shù)．[正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)]一般地，正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和（1，k）的直線．我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．(1) 解析式：y=kx（k是常數(shù)，k≠0）(2) 必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時，圖像經(jīng)過二、四象限(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸[正比例函數(shù)解析式的確定]——待定系數(shù)法1. 設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx（k≠0）2. 把已知條件（一個點(diǎn)的坐標(biāo)）代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程3. 解方程，求出系數(shù)k4. 將k的值代回解析式12.2.2 一次函數(shù)[一次函數(shù)]一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)函數(shù)，叫做一次函數(shù). 當(dāng)b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．[一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)]一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當(dāng)b>0時，向上平移；當(dāng)b<0時，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-，0）（3）走向： k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當(dāng)b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當(dāng)b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系]（1）兩直線平行：k1=k2且b1 b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2[確定一次函數(shù)解析式的方法]（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.[一次函數(shù)建模]函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題. 建立一次函數(shù)模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賦予實際意義時，其圖象大多為線段或射線. 這是因為在實際問題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實際問題有意義.從圖象中獲取的信息一般是：（1）從函數(shù)圖象的形狀判定函數(shù)的類型；（2）從橫、縱軸的實際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實際意義.解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個變量作為自變量，再根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù).12.3 用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式[一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系]任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.[一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系]任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量的取值范圍.[一次函數(shù)與二元一次方程組] （1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=和y=的圖象交點(diǎn).13.1．1 整式[單項式]數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式． 單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項式．[單項式的系數(shù)] 單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)．[單項式的次數(shù)] 一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)．[多項式]幾個單項式的和叫做多項式．多項式中每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫常數(shù)項．[多項式的次數(shù)] 多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)即這個多項式的次數(shù)．[整式]單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．13.1.2 整式的加減[同類項] 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．[合并同類項]把多項式中的同類項合并成一項，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項．幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號，再合并同類項．13.2 整式的乘法[同底數(shù)冪的乘法]am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)） 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．[冪的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.[積的乘方](ab)n＝anbn(n是正整數(shù))積的乘方等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.[單項式乘以單項式]單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同的字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．[單項式乘以多項式] 單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．[多項式乘以多項式]多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．13.3.1 平方差公式[平方差公式] (a＋b)(a－b)＝a2－b2兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等與這兩個數(shù)的平方差.1. 公式的結(jié)構(gòu)特征：⑴左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中，有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).⑵右邊是這兩個數(shù)的平方差，即完全相同的項與互為相反數(shù)的項的平方差（同號項2－異號項2）.2. 公式的應(yīng)用：⑴公式中的字母，可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以用此公式進(jìn)行計算.⑵公式中的是不可顛倒的，注意是同號項的平方減去異號項的平方，還要注意字母的系數(shù)和指數(shù).⑶為了避免錯誤，初學(xué)時，可將結(jié)果用“括號”的平方差表示，再往括號內(nèi)填上這兩個數(shù). 如：(a+b)( a - b)= a2 － b2 ↓↓ ↓↓ ↓ ↓ 計算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x213.3.2 完全平方公式[完全平方公式](a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和加（或減）它們的積的2倍.公式特征：左邊是一個二項式的平方，右邊是一個三項式（首平方，尾平方，二倍乘積在中央）．公式變形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推廣] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac13.4 整式的除法[同底數(shù)冪的除法] 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n)． a0=1(a≠0)任何非零數(shù)的零次冪是1.[單項式除以單項式] 單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．[多項式除以單項式] 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．13.5 因式分解[因式分解]把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解（或分解因式）.[提公因式法]ac＋bc=（a＋b）c[公式法] a2－b2 ＝(a＋b)(a－b) a2+2ab+b2 = (a+b)2a2-2ab+b2 = (a-b)2 [十字相乘法] x2＋（p＋q）x＋pq=（x＋p）（x＋q）14.1全等三角形[全等形]能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.[全等三角形]能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.[全等三角形的性質(zhì)]全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等[找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法]（1）公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角（2）對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角（3）對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角（4）最長（最短）邊是對應(yīng)邊，最大（最?。┙鞘菍?yīng)角（5）平行邊是對應(yīng)邊，對頂角是對應(yīng)角14.2三角形全等的條件[邊邊邊]三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（S。