2005年美、日、法、德、中國的國家綜合實力分析一個國家的國際地位及其處理和解決國際事務(wù)的能力，主要就是看它的綜合國力綜合國力包括政治力、經(jīng)濟力、科技力、國防力、文教力、外交力、資源力等７個方面.，其中經(jīng)濟力和科技力已經(jīng)成為決定因素本文定量與定性相結(jié)合，設(shè)定了五個指標(biāo)，分別為：經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展通過這五個指標(biāo)來建立層次分析模型對美國、日本、法國、德國、中國這五國的國家綜合實力進行分析綜合國力的評價和預(yù)測，是一個非常復(fù)雜的問題這是因為國力是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實際上很難全面、準確地考慮到該模型可融合通過相互比較確定各指標(biāo)對于國家綜合實力的權(quán)重，以及五個國家對于每個指標(biāo)的權(quán)重這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權(quán)重的定量方法將這些不易被量測的問題進行定性分析與定量計算結(jié)合起來該模型將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策將通過一致性檢驗來判斷所設(shè)定的成對比較矩陣的不一致程度是否在容許范圍內(nèi)，由組合權(quán)向量來最終得出國家綜合實力排名評價結(jié)果得五國國家綜合實力排名為：美國、日本、法國、德國、中國。

關(guān)鍵詞：層次分析法；一致性檢驗；權(quán)向量 1. 問題重述當(dāng)今世界，國家間的經(jīng)濟摩擦、外交斗爭和軍事對抗等，歸根到底，也都是綜合國力的競爭綜合國力的評價和預(yù)測，是一個非常復(fù)雜的問題問題一：設(shè)定合適的指標(biāo)來衡量國家綜合實力問題二：根據(jù)所提出的指標(biāo)建立能對美、日、法、德、中這五大國的國家綜合實力進行分析判斷的數(shù)學(xué)模型2. 問題的提出與分析一個國家的國際地位及其處理和解決國際事務(wù)的能力，主要就是看它的綜合國力當(dāng)今世界，國家間的經(jīng)濟摩擦、外交斗爭和軍事對抗等，歸根到底，也都是綜合國力的競爭綜合國力的評價和預(yù)測，是一個非常復(fù)雜的問題這是因為國力是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，它是由許多確定的和不確定的要素決定的，實際上很難全面、準確地考慮到綜合國力是指一個主權(quán)國家生存和發(fā)展所擁有的全部實力及國際影響力的合力它包括政治力、經(jīng)濟力、科技力、國防力、文教力、外交力、資源力等７個方面. 其中經(jīng)濟力和科技力已經(jīng)成為決定因素綜合來說，現(xiàn)在一個國家的國民收入水平、軍事力量、科技水平、社會穩(wěn)定、對外貿(mào)易水平都能反映一個國家的綜合國力因此，本論文從經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展這五個指標(biāo)來衡量國家綜合實力涉及到社會、經(jīng)濟、人文等因素的決策問題時，這些因素通常不易定量地量測，我們試圖通過層次分析法將這些不易被量測的問題進行定性分析與定量計算結(jié)合起來。

將國家綜合實力視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策，即系統(tǒng)分析 本文設(shè)計了五個指標(biāo)，建立國家綜合實力分析的層次結(jié)構(gòu)根據(jù)美國運籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡單，靈活而又實用的多準則決策方法，建立層次分析模型該模型可融合可通過相互比較確定各指標(biāo)對于國家綜合實力的權(quán)重，以及五個國家對于每個指標(biāo)的權(quán)重這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的，而層次分析模型能給出得到權(quán)重的定量方法需要展開的工作如下：任務(wù)一：得出經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展對外貿(mào)易對國家綜合實力的權(quán)重任務(wù)二：得出美、日、法、德、中這五大國分別對經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展的權(quán)重任務(wù)三：建立層次分析模型任務(wù)四：根據(jù)所建立的模型，對所得到的數(shù)據(jù)進行模型求解任務(wù)五：通過所給的模型求解結(jié)果對五個國家的國家綜合實力進行分析3. 模型的建立3.1模型的假設(shè)假設(shè)一：除了經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展這五大指標(biāo)外其他因素對國家綜合實力的影響不大，可忽略考慮3.2符號說明表3-1 符號說明符號符號說明P1,P2,P3,P4,P5分別為美、日、法、德、中C1,C2,C3,C4,C5分別為經(jīng)濟力、科技力、軍事力、資源力、社會發(fā)展A準則層對目標(biāo)層的成對比較矩陣方案層對準則層的第k個準則的成對比較陣表示對國家綜合實力的影響之比方案的優(yōu)越性的影響之比權(quán)向量最大特征根一致性指標(biāo)一致性率隨機一致性指標(biāo)3.3層次分析模型層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡稱AHP)是對一些較為復(fù)雜，較為模糊的問題作出決策的簡易方法。

它特別適用于那些難于完全定量分析的問題它是美國運籌學(xué)家T.L.Saaty教授于70年代初期提出的一種簡單，靈活而又實用的多準則決策方法人們在進行社會的、經(jīng)濟的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個有相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法3.3.1建立層次結(jié)構(gòu)模型我們在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，運用AHR進行系統(tǒng)分析，將有關(guān)的各因素按照不同的屬性自上而下分解為三個層次，同一層的諸因素對上一層因素有影響，同時又支配下一層因素最上層為目標(biāo)層，即國家綜合實力，最層為方案層，有P1,P2,P3,P4,P5五個國家，中間層為準則層，有C1,C2,C3,C4,C5五個準則用連線表明上一層因素與下一層因素的聯(lián)系：國家綜合實力軍事力科技力資源力社會穩(wěn)定美、日、法、德、中五國目標(biāo)層準則層方案層經(jīng)濟力圖1 國家綜合實力分析的層次結(jié)構(gòu)這些指標(biāo)的設(shè)計原則：原則一：指標(biāo)要符合實際情況，在理論上與邏輯上要嚴謹、合理 原則二：指標(biāo)之間最好界限分明，避免相互之間相關(guān)性比較大 原則三：指標(biāo)要簡要，但要統(tǒng)籌兼?zhèn)鋰揖C合實力的各個方面，同時使其在層次上相互有聯(lián)系。

3.3.2構(gòu)造成對比較矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準則層中的各準則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策這的心目中，他們各占有一定的比例在確定影響莫因素的諸因子在該因素中所占的比重時，主要困難在于這些因素通常不易定量的測量，人們憑自己的知識和經(jīng)驗進行判斷當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因為考慮不周，顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)Satty等人的做法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，二是對比采用相對尺度，以盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準確度 每次取兩個因素，以表示對國家綜合實力的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較矩陣：A＝ , , = i,j=1…5容易看出，=1用同樣的方法構(gòu)造方案層對準則層的每一個準則的成對比較陣，不妨設(shè)它們?yōu)椋? (k=1,2,3,4,5)是方案（美、中等五國）（經(jīng)濟力、科技力等）的優(yōu)越性的比較尺度關(guān)于如何確定的值，Satty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為尺度下表列出了1~9尺度的含義：表 3-2 1~9尺度的含義尺度含義1的影響相同3的影響稍強5的影響強7的影響明顯強9的影響絕對的強2,4,6,8的影響之比在上述兩個相鄰等級之間1,1/2,…,1/9與的影響之比為上面的反函數(shù)3.3.3成對比較矩陣的最大特征根和特征向量的實用算法(即求權(quán)向量)眾所周知，用定義計算矩陣的特征很和特征向量是相當(dāng)困難的，另一方面，因為成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果，對它做精確計算是不必要的，所以完全可以用簡便的近似方法計算其特征很和特征向量。

本文使用和法來進行計算其計算步驟為：Step1:將A的每一列向量歸一化得Step2:對按行求和得Step3:將歸一化 ， 即為近似特征向量Step4:計算 ，作為最大特征根的近似值這個方法實際上是將A的列向量歸一化后去平均值，作為A的特征向量因為當(dāng)A為一致陣時它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴重，則取A的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的 用同樣的辦法來求得成對比較矩陣的權(quán)向量以及最大特征根(k=1,2,3,4,5)3.3.4一致性檢驗成對比較矩陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對應(yīng)于特征根的特征向量作為比較因素的權(quán)向量，現(xiàn)求出其不一致程度的容許范圍當(dāng)比5(5是A的階數(shù))大得越多，A的不一致程度越嚴重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大因而可以用-5數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度其步驟為：Step1：計算判斷成對比較矩陣一致性指標(biāo)CI： (5是A的階數(shù))Step2：計算一致性率CR：當(dāng)CR<0.1時認為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量否則就認為成對比較矩陣一致性太差，必須重新進行兩兩比較判斷這里RI是隨機一致性指標(biāo)，上面我們已經(jīng)指出當(dāng)比較的因素越多也就是兩兩比較矩陣維數(shù)越大時，判斷的一致性就越差，故應(yīng)放寬對高維兩兩比較矩陣一致性的要求，于是就引入修正值RI表3-3 隨機一致性指標(biāo)RI的數(shù)值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51用同樣的求得的一致性指標(biāo), (k=1,2,3,4,5) ，并判斷其是否一致性檢驗。

3.3.5計算組合權(quán)向量目標(biāo)層只有一個因素，準則層和方案層分別有5,5個因素，記準則層對目標(biāo)層的權(quán)向量，方案層對準則層的權(quán)向量分別為：以為列向量構(gòu)成矩陣則方案層對目標(biāo)層的組合權(quán)向量為3.3.6組合一致性檢驗在應(yīng)用層次分析法作重大決策時，除了對每個成對比較矩陣進行一致性檢驗之外，還常需要一致性檢驗，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)組合一致性檢驗可逐層進行若第p層得一致性指標(biāo)為 (n為第p-1層因素的數(shù)目)，隨機一致性指標(biāo)為，定義則第p層的組合一致性比率為， p=3,4,…,s方案層對目標(biāo)層的組合一致性比率為當(dāng)<0.1時，才認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗4層次分析模型的求解與分析4.1構(gòu)造成對比較矩陣表 4-1 2005年各國各指標(biāo)排名經(jīng)濟力科技力軍事力資源力社會發(fā)展美國325117181891547559日本21581111806216416法國1588994814201419德國1762854623191419德國1321512508483307構(gòu)造準則層對目標(biāo)層的成對比較矩陣：A=構(gòu)造方案層對于準則層的成對比較矩陣：B1= B2=B3= B4=B5=4.2計算權(quán)向量并作一致性檢驗通過MATLAB計算得：成對比較矩陣A的最大特征根：=5.217準則層對目標(biāo)層的權(quán)向量：一致性指標(biāo)：=0.054一致性檢驗：=0.048 < 0.1由此可知：成對比較矩陣A的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。

4.3計算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗由第三層的成對比較矩陣計算出權(quán)向量，最大特征根和一致性指標(biāo)，結(jié)果列入下表：表 4-2k123450.3230.3310.4070.2800.263。