2．2.2　反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題．知識(shí)點(diǎn)　反證法王戎小時(shí)候，愛和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的．”思考　本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？答案　運(yùn)用了反證法思想．梳理　(1)定義：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．(2)反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等．1．反證法屬于間接證明問題的方法．(　√　)2．反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理．(　×　)3．反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾．(　√　)類型一　用反證法證明否定性命題例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用證明　假設(shè)a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因?yàn)閍d－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，則a＝b＝c＝d＝0，這與已知條件ad－bc＝1矛盾，故假設(shè)不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思與感悟　(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤訓(xùn)練1　已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列，求證：，，不成等差數(shù)列．考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用證明　假設(shè)，，成等差數(shù)列，則2＝＋，∴4b＝a＋c＋2.①∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，②由②得b＝，代入①式，得a＋c－2＝(－)2＝0，∴a＝c，從而a＝b＝c.這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，∴假設(shè)不成立．故，，不成等差數(shù)列．類型二　用反證法證明“至多、至少”類問題例2　a，b，c∈(0,2)，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用證明　假設(shè)(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因?yàn)閍，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以≥>1.同理≥>1，≥>1.三式相加，得＋＋>3，即3>3，矛盾．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.引申探究　已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.證明　假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c都是小于1的正數(shù)，∴1－a,1－b,1－c都是正數(shù)．∴≥>＝.同理，>，>.三式相加，得＋＋>，即>，顯然不成立．∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.反思與感悟　應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜．這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n－1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)p且q綈p或綈q跟蹤訓(xùn)練2　已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用證明　假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，且Δ3＝4a2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證．類型三　用反證法證明唯一性命題例3　求證：方程2x＝3有且只有一個(gè)根．考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用證明　∵2x＝3，∴x＝log23.這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的．假設(shè)方程2x＝3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1≠b2)，則＝3, ＝3，兩式相除得＝1，∴b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2矛盾．∴假設(shè)不成立，從而原命題得證．反思與感悟　用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性．跟蹤訓(xùn)練3　若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)實(shí)根．考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用證明　假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)α，β為其中的兩個(gè)實(shí)根．因?yàn)棣痢佴?，不妨設(shè)α<β，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)b”的反面是“ay或x2，故①中的假設(shè)錯(cuò)誤；對(duì)于②，其假設(shè)正確，故選D.7．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋，b＋，c＋(　　)A．都大于2B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2D．至少有一個(gè)不大于2考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用答案　C解析　假。