有這么一個故事 ------------- 離心率關(guān)于橢圓離心率22設(shè)橢圓 x 2y2 1（ a b0） 的左、右焦點分別為 F1、 F2 ，如果ab橢圓上存在點P，使 F1 PF290 ，求離心率 e 的取值范圍解法 1：利用曲線范圍設(shè) P（ x， y），又知 F1 （c， 0）， F2 （c， 0） ，則F1 P ( x c， y) ， F2 P( x c， y)由 F1 PF2則 F1P F2P即 ( xc)( x得 x 2y 290 ，知 F1P F2P，0，c) y2 0c2將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去 y，可解得2222x 2ac2a2 babF1 PF290但由橢圓范圍及知 0x2a 2即 0a 2 c2a 2b2a 2a2b2可得 c2b2 ，即 c2a2c2 ，且 c2a2從而得 ec2 ，且 ec1a2a所以 e[2 ，1）2解法 2：利用二次方程有實根由橢圓定義知|PF1 | | PF2 | 2a | PF1|2 |PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 4a2經(jīng)典的，不會那么容易過時 ------------- 1有這么一個故事 ------------- 離心率又由 F1 PF2 90 ，知| PF1|2 | PF2 |2 |F1F2|24c2則可得 | PF1|| PF2 | 2(a 2c2 )這樣， | PF1|與 |PF2 |是方程 u 22au 2(a 2c2 )0的兩個實根，因此4a 2 8(a2 c 2 ) 02 c2 1e22a2e2因此 e[2 ， )12解法 3：利用三角函數(shù)有界性記PF1 F2， PF2 F1，由正弦定理有|PF1| | PF2 ||F1F2 |sinsinsin 90|PF1| |PF2|sinsin| F1F2 |又 | PF1||PF2 |2a， |F1 F2 |2c，則有ec111asinsin2 sincos2 cos222而 0|| 90知 0||4522cos122從而可得2e 12經(jīng)典的，不會那么容易過時 ------------- 2有這么一個故事 ------------- 離心率解法 4：利用焦半徑由焦半徑公式得|PF1| a ex， | PF2 | a ex又由 |PF1 |2| PF2 |2|F1F2 |2，所以有a 22cxe2 x 2a 22cxe2 x 24c2即 a 2e2 x 22c2 ， x 22c 2a 2e2又點 P（ x， y）在橢圓上，且 xa，則知 0 x 2a2 ，即2c2a 2a20e22得e [ ，1）解法 5：利用基本不等式由橢圓定義，有 2a |PF1 | | PF2 | 平方后得4a 2|PF1 |2| PF2 |22| PF1 || PF2 |2(|PF1 |2|PF2 |2 ) 2|F1 F2 |28c2得c21所以有 e[2， 1）a222解法 6：巧用圖形的幾何特性由 F1 PF290，知點 P 在以 |F1 F2 |2c 為直徑的圓上。

又點 P 在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P故有 c bc2b2a 2c2由此可得 e [ 2 ，1）2經(jīng)典的，不會那么容易過時 ------------- 3有這么一個故事 ------------- 離心率演練一、直接求出 a， c 或求出 a 與 b 的比值，以求解 e 在橢圓中， ec ， ecc2a 2b21 b 2aaa 2a 2a 21.已知橢圓的長軸長是短軸長的2 倍，則橢圓的離心率等于_____2.已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的2 倍，則其離心率為_____3.若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1 (1,0), F2 (3,0), 則橢圓的離心率為____4. 已知矩形 ABCD， AB＝ 4，BC＝3，則以 A、B為焦點，且過 C、D 兩點的橢圓的離心率為___5. 若橢圓 x2y 21,( ab 0) 短軸端點為 P 滿足 PF1PF2 ，則a2b2橢圓的離心率為 e___6.. 已知 121(m0.n0) 則當(dāng) mn取得最小值時，橢圓mnx2y 21的的離心率為m2n2____經(jīng)典的，不會那么容易過時 ------------- 4有這么一個故事 -------------離心率227. 橢圓 x2y21(a b0) 的焦點為 F1 ， F2 ，兩條準(zhǔn)線與x 軸的ab交點分別為 M，N ，若 MN ≤F1 F2 ，則該橢圓離心率的取值范圍是 _________8. 已知 F1為橢圓的左焦點，A、B 分別為橢圓的右頂點和上頂點，P 為橢圓上的點，當(dāng)1⊥1，∥（O為橢圓中心）時，橢圓的離心率為PFF APO AB___________9. P 是橢圓 x2+y 2=1（ a＞ b＞ 0）上一點， F1、F2是橢圓的左右焦點，已a2b 2e知PFF , PFF2 ,F PF23,橢圓的離心率為_____1221110. 已知 F1、F2 是橢圓的兩個焦點， P 是橢圓上一點，若PF1 F2 15 , PF 2 F1 75 ， 則橢圓的離心率為_______11. 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為 2 ，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 1，則該橢圓的離心率為_______二、構(gòu)造 a， c 的齊次式，解出 e1．已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是____2．以橢圓的右焦點 F2 為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于 M、 N 兩點，橢圓的左焦點為 F1，直線 MF1 與圓相切，則橢圓的離心率是 _____3．以橢圓的一個焦點 F 為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心 O并且與橢圓交于 M、 N兩點，如果 ∣ MF∣ = ∣ MO，∣則橢圓的離心率是_____4．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 F1、 、F2，過 F2 作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 P，若 △F1PF2 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 _____經(jīng)典的，不會那么容易過時 ------------- 5有這么一個故事 ------------- 離心率5．已知 F1、F2 是橢圓的兩個焦點，過 F1 且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點，若 △ ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是_____三、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。

1．已知 F、 Fuuuuruuuur的點 M總在是橢圓的兩個焦點，滿足MF1MF2 012橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_______2．已知 F1、F2 是橢圓的兩個焦點， P 是橢圓上一點，且F1 PF2 90 ，橢圓離心率 e 的取值范圍為_______3．已知 F1、F2 是橢圓的兩個焦點， P 是橢圓上一點，且F1PF260 ，橢圓離心率e 的取值范圍為______4．設(shè)橢圓 x 2y 2 1（ a>b>0）的兩焦點為 F1、 F2，若橢圓上存在一。