第七章 非線性這一章討論 ABAQUS 中的非線性結(jié)構(gòu)分析線性分析與非線性分析的區(qū)別概述如下：線性分析到目前為止所討論的分析實例均為線性情形，也就是施加的載荷和系統(tǒng)響應(yīng)間存在線性關(guān)系例如：如果一線性彈簧在 10N 的載荷下伸長 1ｍ，那么施加 20N 的載荷就會伸長２ｍ這意味著在線性分析中，結(jié)構(gòu)的柔度陣只需計算一次（將剛度陣集成并求逆即可得到）其它載荷情形下，結(jié)構(gòu)的線性響應(yīng)可通過將新的載荷向量與剛度陣的逆相乘得到此外，結(jié)構(gòu)對不同載荷情形的響應(yīng)，可以用常數(shù)來進(jìn)行比例變換或相互疊加的方式，來得到結(jié)構(gòu)對一種完全新的載荷的響應(yīng)，這要求那種新載荷是先前各載荷的線性組合載荷的疊加原則假定所有的載荷的邊界條件相同ABAQUS 在線性動力學(xué)模擬中使用了載荷的疊加原理，這將在第九章進(jìn)行討論非線性分析結(jié)構(gòu)的非線性問題指結(jié)構(gòu)的剛度隨其變形而改變的分析問題實際上所有的物理結(jié)構(gòu)均為非線性的，而線性分析只是一種方便的近似，這對設(shè)計來說通常是足夠精確的顯然，線性分析對包括加工過程的許多結(jié)構(gòu)模擬來說是不夠的，象鍛造或沖壓、壓潰分析、及橡膠部件、輪胎和發(fā)動機(jī)墊圈分析等問題一個簡單的例子就是具有非線性剛度響應(yīng)的彈簧（見圖 7-1）。

圖 7-1 線性和非線性彈簧特性由于剛度依賴于位移，所以不能再用初始柔度乘以所施加的載荷的方法來計算任意載荷時彈簧的位移了在非線性分析中結(jié)構(gòu)的剛度陣在分析過程中必須進(jìn)行許多次的生成、求逆，這使得非線性分析求解比線性分析昂貴得多由于非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不是所施加載荷的線性函數(shù)，因此不可能通過疊加來獲得不同載荷的解每種載荷都必須作為獨立的分析進(jìn)行定義及求解7－17.1 非線性的來源在結(jié)構(gòu)力學(xué)模擬中有三種非線性的來源：·材料非線性·邊界非線性·幾何非線性7.1.1 材料非線性這種非線性也許是人們最熟悉的，并將在第八章中進(jìn)行更深入的討論大多數(shù)金屬在小應(yīng)變時都具有良好的線性應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系，但在應(yīng)變較大時材料會發(fā)生屈服，此時材料的響應(yīng)變成了非線性和不可逆的（見圖 7-2）圖 7-2 彈－塑性材料軸向拉伸應(yīng)力－應(yīng)變曲線橡膠可以近似認(rèn)為具有非線性的、可逆的（彈性）響應(yīng)的材料（見圖 7-3）材料的非線性也可能與應(yīng)變以外的其它因素有關(guān)應(yīng)變率相關(guān)材料的材料參數(shù)和材料失效都是材料非線性的表現(xiàn)形式材料性質(zhì)也可以是溫度和其它預(yù)先設(shè)定的場變量的函數(shù)圖 7-3 橡膠類材料應(yīng)力－應(yīng)變曲線7.1.2 邊界非線性若邊界條件隨分析過程發(fā)生變化，就會產(chǎn)生邊界非線性問題。

考慮圖 7-4 所示7－ 2的懸臂梁，它隨施加的載荷發(fā)生撓曲，直至碰到障礙圖 7-4 將碰到障礙物的懸臂梁梁端部的豎向撓度與載荷在它接觸到障礙以前是線性關(guān)系在端部碰到障礙時梁端部的邊界條件發(fā)生突然的變化，阻止豎向撓度繼續(xù)增大，因此梁的響應(yīng)將不再是線性的邊界非線性是極度不連續(xù)的，在模擬分析中發(fā)生接觸時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性會在瞬時發(fā)生很大的變化另一個邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程在與模具接觸前，板材在壓力下的伸展變形是相對容易產(chǎn)生的，在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓才能使板材繼續(xù)成型邊界條件非線性將在第十一章進(jìn)行討論7.1.3 幾何非線性第三種非線性的來源是與分析過程中模型的幾何改變相聯(lián)系的幾何非線性發(fā)生在位移的大小影響到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情形這可能由于：·大撓度或轉(zhuǎn)動·“突然翻轉(zhuǎn)”·初應(yīng)力或載荷硬化例如，考慮端部受豎向載荷的懸臂梁（見圖 7-5）若端部撓度較小，分析時可以認(rèn)為是近似線性的然而若端部的撓度較大，結(jié)構(gòu)的形狀乃至于其剛度都會發(fā)生改變另外，若載荷不能保持與梁垂直，載荷對結(jié)構(gòu)的作用將發(fā)生明顯的改變當(dāng)懸臂梁自由端部撓曲時，載荷可以分解為一個垂直于梁的分量和另一個沿梁的長度方向作用的分量。

所有這些效應(yīng)都會對懸臂梁的非線性響應(yīng)作出貢獻(xiàn)（也就是梁的剛度隨它所承受載荷的增加而不斷變化）圖 7-5 懸臂梁的大撓度可以預(yù)料大撓度和轉(zhuǎn)動對結(jié)構(gòu)承載方式有重要影響然而，并非位移相對于結(jié)構(gòu)尺寸很大時，幾何非線性才顯得重要考慮一塊很大的彎板在所受壓力下的“突然翻轉(zhuǎn)”現(xiàn)象，如圖 7-6 所示在此例子中板的剛度在變形時會產(chǎn)生戲劇性的變化當(dāng)平板突然翻轉(zhuǎn)時，剛7－ 3度就變成了負(fù)的這樣，盡管位移的量值相對于板的尺寸來說很小，在模擬分析中仍有嚴(yán)重的幾何非線性效應(yīng)，這是必須加以考慮的圖 7-6 大平板的突然翻轉(zhuǎn)7.2 非線性問題的求解結(jié)構(gòu)的非線性載荷－位移曲線見圖 7-7分析的目標(biāo)是確定其響應(yīng)ABAQUS使用 Newton-Raphson 法來求解非線性問題在非線性分析中的求解不能象線性問題中那樣，只求解一組方程即可，而是逐步施加給定的載荷，以增量形式趨于最終解因此 ABAQUS 將計算過程分為許多載荷增量步，并在每個載荷增量步結(jié)束時尋求近似的平衡構(gòu)形ABAQUS 通常要經(jīng)過若干次迭代才能找到某一載荷增量步的可接受的解所有增量響應(yīng)的和就是非線性分析的近似解圖 7-7 非線性載荷－位移曲線考慮作用在物體上的外部作用力 P 和內(nèi)部（節(jié)點）作用力 I,（分別見圖 7-8(a)與圖 7-8(b)）。

作用于一節(jié)點上的內(nèi)部作用力是由包含此節(jié)點的各單元中的應(yīng)力引起的7－ 4(a)模擬計算中的外部載荷 (b)作用于節(jié)點上的內(nèi)部作用力圖 7－8 物體上的外部載荷和內(nèi)部作用力為了使物體處于平衡狀態(tài)，每個節(jié)點上施加的凈作用力必須為零因此平衡的基本判據(jù)為內(nèi)部作用力 I 和外部作用力 P 必須互相平衡：P －I ＝07.2.1 分析步，增量步和迭代步這一節(jié)將引入一些新詞匯來描述分析中的不同組成部分清楚地理解分析步，載荷增量步和迭代步的區(qū)別是很重要的·模擬計算的加載過程包含單個或多個步驟，所以要定義分析步它一般包含分析過程選擇，載荷選擇，和輸出要求選擇而且每個分析步都可以采用不同的載荷、邊界條件、分析過程和輸出要求例如：步驟一：將板材夾于剛性夾具上步驟二：加載使板材變形步驟三：確定變形板材的自然頻率·增量步是分析步的一部分在非線性分析中，一個分析步中施加的總載荷被分解為許多小的增量，這樣就可以按照非線性求解步驟來進(jìn)行計算當(dāng)提出初始增量的大小后，ABAQUS 會自動選擇后繼的增量大小每個增量步結(jié)束時，結(jié)構(gòu)處于（近似）平衡狀態(tài)，結(jié)果可以寫入輸出數(shù)據(jù)庫文件、重啟動文件、數(shù)據(jù)文件或結(jié)果文件中選擇某一增量步的計算結(jié)果寫入輸出數(shù)據(jù)庫文件的數(shù)據(jù)稱為幀（frames）。

·迭代步是在一增量步中找到平衡解的一種嘗試如果模型在迭代結(jié)束時不是處于平衡狀態(tài)，ABAQUS 將進(jìn)行另一輪迭代隨著每一次迭代，ABAQUS 得到的解將更接近平衡狀態(tài)；有時 ABAQUS 需要進(jìn)行許多次迭代才能得到一平衡解當(dāng)平衡解得到以后一個增量步才完成，即結(jié)果只能在一個增量步的末尾才能獲得7.2.2 平衡迭代和收斂性結(jié)構(gòu)對于一個小的載荷增量 P 的非線性響應(yīng)示于圖 7-9 中ABAQUS 利用基于 U0 時構(gòu)形的結(jié)構(gòu)初始剛度 K0，和增量 P 來計算結(jié)構(gòu)的位移修正值 ca利用 ca 將結(jié)構(gòu)的構(gòu)形更新為 Ua7－ 5圖 7-9 一增量步中的首次迭代收斂性基于結(jié)構(gòu)新的構(gòu)形 Ua，ABAQUS 形成新的剛度 Ka利用 Ka 來計算更新后的構(gòu)形中結(jié)構(gòu)的內(nèi)部作用力 Ia所施加的總載荷 P 和 Ia 的差值可如下計算：Ra ＝ P -Ia其中 Ra 是迭代的作用力殘差值如果 Ra 在模型的每一自由度上均為零，圖 7-9 中的 a 點將位于載荷－撓度曲線上，結(jié)構(gòu)將處于平衡狀態(tài)在非線性問題中，幾乎不可能使 Ra 等于零，因此 ABAQUS 將 Ra 與容許殘差進(jìn)行比較如果 Ra 比作用力容許殘差小，ABAQUS 就接受結(jié)構(gòu)的更新構(gòu)形作為平衡結(jié)果。

默認(rèn)的容許殘差設(shè)置為結(jié)構(gòu)中對時間進(jìn)行平均的作用力的0.5%ABAQUS 在整個模擬過程中自動從空間分布和對時間平均的角度計算這個值若 Ra 比目前的容許殘差小，就認(rèn)為 P 和 Ia 處于平衡狀態(tài)，Ua 就是結(jié)構(gòu)在當(dāng)前載荷下合理的平衡構(gòu)形而 ABAQUS 在接受此解前，還要檢查位移修正值 ca 與總的增量位移 Ua＝Ua－U0 相比是否是一小量若 ca 大于增量位移的 1%，ABAQUS 將重新進(jìn)行迭代只有這兩個收斂性檢查都得到滿足，才認(rèn)為此載荷增量下的解是收斂的上述收斂判斷規(guī)則有一個例外，即所謂線性增量情況線性增量的定義是指增量步內(nèi)最大的力殘差小于時間平均力乘以 10-8 的增量步，凡嚴(yán)格滿足這個定義的增量步無需再進(jìn)行迭代，無需進(jìn)行任何檢查即可認(rèn)為其解是可接受的若迭代結(jié)果不收斂，ABAQUS 將進(jìn)行另一種迭代以使內(nèi)部和外部作用力達(dá)到平衡第二種迭代采用前面迭代結(jié)束時計算得到的剛度 Ka 和 Ra 一起來確定另一位移修正值 cb，這使得系統(tǒng)更加接近平衡狀態(tài)（見圖 7-10 中的點 b）ABAQUS 利用結(jié)構(gòu)新構(gòu)形 Ub 中的內(nèi)部作用力計算新的作用力殘值 Rb，再次將任意自由度上的最大作用力殘值與作用力殘值容許值進(jìn)行比較，將第二種迭代的位7－ 6移修正值 cb 與增量位移 Ub＝Ub-U0 進(jìn)行比較。

如果需要的話 ABAQUS 將進(jìn)行進(jìn)一步的迭代圖 7-10 第二種迭代對于非線性分析中的每次迭代，ABAQUS 要重新形成模型的剛度矩陣并求解方程組從計算費用的角度來說，這意味著每次迭代等價于進(jìn)行一次完整的線性分析現(xiàn)在可以清楚地看到非線性分析的計算費用可能要比線性問題大許多倍可以在每一收斂的增量步上保存結(jié)果，所以非線性模擬計算中得到的輸出數(shù)據(jù)量將是線性分析中可得到數(shù)據(jù)量的很多倍因此在規(guī)劃計算機(jī)資源時，就應(yīng)考慮這些因素及所想進(jìn)行的非線性模擬計算的類型7.2.3 自動增量控制ABAQUS 自動調(diào)整載荷增量步的大小，因此它能便捷而有效地求解非線性問題用戶只需在每個分析步計算中給出第一個增量的大小，ABAQUS 會自動調(diào)整后續(xù)增量的大小若用戶未提供初始增量大小，ABAQUS 會試圖將該分析步的全部載荷都作為第一增量步載荷來施加，這樣在高度非線性的問題中 ABAQUS 不得不反復(fù)減小增量大小，從而導(dǎo)致 CPU 時間的浪費一般來說，提供一個合理的初始增量大?。ㄒ?7.4.1 節(jié)例題）將是有利的；只有在很平緩的非線性問題中才可能將一分析步中的所有載荷施加于一個增量步中在一個載。