北京市朝陽區(qū)2020學年度第二學期期末質量檢測高一年級數(shù)學學科試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.直線 傾斜角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把直線方程化成斜截式，根據(jù)斜率等于傾斜角的正切求解.【詳解】直線化成斜截式為，因為 ，所以.故選B.【點睛】本題考查直線的斜截式方程和基本性質，屬于基礎題.2.在中，，，，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由正弦定理可得 ， 又 .故選A.【點睛】本題考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大邊對大角是常用排除方法.3.已知直線，，若，則實數(shù)的值是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線垂直斜率之積為1求解.【詳解】因為，所以，解得.故選B.【點睛】本題考查直線垂直的斜率關系，注意斜率不存在的情況.4.在正方體中，分別是棱的中點，則異面直線和所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移到，平移到，則與所求的角即為所求的角.【詳解】如圖所示，∵分別是棱的中點∴∥又∵∥，∴∴和所成的角為.故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角，常用方法：1、平移直線到相交；2、向量法.5.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】【分析】分析條件的特殊情況，結合定理舉例推翻錯誤選項即可.【詳解】當直線是相交且垂直，確定的平面與平行時，，故A錯誤；當相交，直線與交線平行時，，故B錯誤；當直線在面內，且，直線垂直的交線時，，故C錯誤；垂直與同一直線的兩個平面平行，故D正確.故選D.【點睛】本題考查空間線面的位置關系，結合定理與舉例判斷.6.從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）按，，，，分組，繪制成頻率分布直方圖（如圖）．從身高在，，三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取18人參加一項活動，則從身高在內的學生中選取的人數(shù)應為 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】先求，，三組頻率，再求各組頻數(shù)，最后根據(jù)分層抽樣總體與各層抽樣比例相同求解.【詳解】各組頻率等于各組矩形的面積，所以，身高在，，的頻率分別為0.3，0.2，0.1，身高在，，的頻數(shù)分別為30，20，10，分層抽樣的比例為 .所以，身高在內的學生中選取的人數(shù)為.故選A.【點睛】本題考查頻率分布直方圖與分層抽樣，屬于基礎題.7.如圖，設A，B兩點在河的兩岸，某測量者在A同側的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50米，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為（ ）A. 50 米 B. 50米 C. 25 米 D. 米【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角形內角和求，再根據(jù)正弦定理求解.【詳解】在中，則由正弦定理得 ，所以 m.故選A.【點睛】本題考查解三角形的實際應用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如圖，在正方體中，是棱上的動點．下列說法正確的是（ ）A. 對任意動點在平面內不存在與平面平行的直線B. 對任意動點在平面內存在與平面垂直的直線C. 當點從運動到的過程中，二面角的大小不變D. 當點從運動到的過程中，點到平面的距離逐漸變大【答案】C【解析】【分析】不論是在任意位置，平面即平面，再求解.【詳解】因為在平面內，且平行平面，故A錯誤；平面即平面，又平面與平面斜相交，所以在平面內不存在與平面垂直的直線，故B錯誤；平面即平面，平面與平面是確定平面，所以二面角不改變，故C正確；平面即平面，點到平面的距離為定值，故D錯誤.故選C.【點睛】本題考查空間線面關系，屬于綜合題.本題的關鍵在于平面的確定.9.2020年科學家在研究皮膚細胞時發(fā)現(xiàn)了一種特殊的凸多面體, 稱之為“扭曲棱柱”. 對于空間中的凸多面體, 數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了它的頂點數(shù), 棱數(shù)與面數(shù)存在一定的數(shù)量關系.凸多面體頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)三棱柱695四棱柱8126五棱錐6106六棱錐7127根據(jù)上表所體現(xiàn)的數(shù)量關系可得有12個頂點，8個面的扭曲棱柱的棱數(shù)是（ ）A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】C【解析】【分析】分析頂點數(shù), 棱數(shù)與面數(shù)的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解.【詳解】易知同一凸多面體頂點數(shù), 棱數(shù)與面數(shù)的規(guī)律為：棱數(shù)＝頂點數(shù)＋面數(shù)－2，所以，12個頂點，8個面的扭曲棱柱的棱數(shù)＝12＋8－2＝18.故選C.【點睛】本題考查邏輯推理，從特殊到一般總結出規(guī)律.10.已知二次函數(shù)交軸于兩點(不重合)，交軸于點. 圓過三點.下列說法正確的是（ ）① 圓心在直線上；② 的取值范圍是；③ 圓半徑的最小值為；④ 存在定點，使得圓恒過點.A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的的性質得圓心橫坐標為1；根據(jù)二次函數(shù)的性質與二次函數(shù)與軸有兩個焦點可得的取值范圍；假設圓方程為，用待定系數(shù)法求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質和的取值范圍求圓半徑的取值范圍，再根據(jù)圓方程的判斷是否過定點.【詳解】二次函數(shù)對稱軸為，因為對稱軸為線段的中垂線，所以圓心在直線上，故①正確；因為二次函數(shù)與軸有兩點不同交點，所以，即，故②錯誤；不妨設在的左邊，則， 設圓方程為 ，則 ，解得， ，因為，所以即，故③錯誤；由上得圓方程為，即，恒過點，故④正確.故選D.【點睛】本題考查直線與圓的應用，關鍵在于結合圖形用待定系數(shù)法求圓方程，曲線方程恒過定點問題要分離方程參數(shù)求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11.某學校甲、乙兩個班各15名學生參加環(huán)保知識競賽，成績的莖葉圖如下：則這30名學生的最高成績是_______；由圖中數(shù)據(jù)可得_______班的平均成績較高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成績位的“莖”最大的“葉”上的最大數(shù)，再分析兩個班的成績主要集中在哪些“莖”上，比較這些“莖”的大小即可得出結果.【詳解】由莖葉圖可知，30名學生的最高成績是96分，因為甲班的成績集中在（60， 80）分，乙班的成績集中在（70，80）分，故乙班的平均成績較高。

點睛】本題主要考查對莖葉圖的理解. 平均成績決定于數(shù)據(jù)的集中區(qū)域與集中程度.12.在中，已知，則_______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解.【詳解】由余弦定理得： 即 解得或（舍去）【點睛】本題考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.13.某幾何體是由一個正方體去掉一個三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積是___【答案】6【解析】【分析】先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計算.【詳解】幾何體如圖所示： 去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的 ，所以三棱柱的體積： 所以幾何體的體積：【點睛】本題考查三視圖與幾何體的體積.關鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.14.已知直線與圓交于兩點，若，則____.【答案】【解析】分析】根據(jù)點到直線距離公式與圓的垂徑定理求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離： ，由得，解得.【點睛】本題考查直線與圓的應用.此題也可聯(lián)立圓與直線方程，消元后用弦長公式求解.15.已知是兩個不同平面，直線，給出下面三個論斷：① ② ③以其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題_______.【答案】①②③（答案不唯一，或②③①）【解析】【分析】假設其中兩個論斷為條件，其余為結論，再根據(jù)線面關系的定理推斷命題是否正確.【詳解】①②為條件，③為結論，證明如下：若，，則內有一條直線與平行，若，則內必有兩條相交直線與垂直，所以直線與直線垂直，所以，所以.【點睛】本題考查空間線面關系的證明，此題也可舉例推翻錯誤命題.16.已知兩條直線, 將圓及其內部劃分成三個部分, 則的取值范圍是_______；若劃分成的三個部分中有兩部分的面積相等, 則的取值有_______種可能.【答案】 (1). (2). 3【解析】【分析】易知直線過定點，再結合圖形求解.【詳解】依題意得直線過定點，如圖： 若兩直線將圓分成三個部分，則直線必須與圓相交于圖中陰影部分.又，所以的取值范圍是；當直線位于時，劃分成的三個部分中有兩部分的面積相等.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系的應用，直線的斜率，結合圖形是此題的關鍵.三、解答題：本大題共4小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.如圖，在中，是的中點，，，的面積為.（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）判斷是否為銳角三角形，并說明理由.【答案】（Ⅰ）AB=4,AC=；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）先根據(jù)三角形面積公式求，再根據(jù)余弦定理求；（Ⅱ）根據(jù)正弦定理求解；（Ⅲ）根據(jù)勾股定理及三邊關系判斷【詳解】（Ⅰ）由，得.因為是的中點，所以.在中，由余弦定理得.故.（Ⅱ）在中，由正弦定理，.所以. （Ⅲ）是銳角三角形.因為在中，.所以是最大邊，故是最大角.且.所以為銳角.所以為銳角三角形.【點睛】本題考查正弦定理余弦定理在解三角形中的綜合應用.判斷三角形的形狀也可用余弦定理求最大角的余弦值判斷.18.某市從高二年級隨機選取1000名學生，統(tǒng)計他們選修物理、化學、生物、政治、歷史和地理六門課程（前3門為理科課程，后3門為文科課程）的情況，得到如下統(tǒng)計表，其中“√”表示選課，“空白”表示未選．科目方案 人數(shù)物理化學生物政治歷史地理一220√√√二200√√√三180√√√四175√√√五135√√√六90√√√（Ⅰ）在這1000名學生中，從選修物理的學生中隨機選取1人，求該學生選修政治的概率； （Ⅱ）在這1000名學生中，從選擇方案一、二、三的學生中各選取2名學生，如果在這6名學生中隨機選取2名，求這2名學生除選修物理以外另外兩門選課中有相同科目的概率；（Ⅲ）利用表中數(shù)據(jù)估計該市選課偏文（即選修至少兩門文科課程）的學生人數(shù)多還是偏理（即選修至少兩門理科課程）的學生人數(shù)多，并說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）該市選課偏理的學生人數(shù)多【解析】【分析】。