機械產品生產計劃問題?摘要：該問題屬于線性單目標整數(shù)規(guī)劃問題，本文從問題的提出到問題假設與分析，然后得到模型，最后用lingo求解，得出最優(yōu)的生產、庫存、銷售方案，然后又進行了靈敏度分析，找到在不改變原計劃的情況下，如何提高利潤的辦法本文還從設備的角度分析了提高了利潤的辦法，并對設備檢修計劃建立了模型，并用lingo求解，解出了最優(yōu)的設備檢修計劃，在該方案下得到的最大利潤?關鍵字：單目標整數(shù)規(guī)劃? 最優(yōu)生產方案 設備檢修計劃?一、??? 問題的提出機械加工廠生產7種產品該廠有以下設備: 四臺磨床、兩臺立式鉆床、三臺水平鉆床、一臺鏜床和一臺刨床 每種產品的利潤( 單位:元/件, 在這里, 利潤定義為銷售價格與原料成本之差)以及生產單位產品需要的各種設備的工時(小時/件)如表1所示，其中短劃線表示這種產品不需要相應的設備加工?表1??? 產品的利潤和需要的設備工時????? 產品? 1234567?單位產品利潤10.006.003.004.001.009.003.00?磨床0.500.70? --?--0.300.200.50?立鉆0.102.00? --0.30? --0.6?? --?水平鉆0.206.000.80?--? --? --0.60?鏜床0.050.03? --0.070.10? --0.08?刨床?? --?--0.01?--0.05? --0.05?從一月份至月份, 每個月中需要檢修設備見表2所示(在檢修月份,被檢修設備全月不能用于生產)。

每個月各種產品的市場銷售量上限如表3所示每種產品的最大庫存量為100件,庫存費用為每件每月0.5元,在一月初,所有產品都沒有庫存；而要求在六月底,每種產品都至少要有50件庫存工廠每天開兩班, 每班8小時,為簡單計, 假定每月都工作24天 ?表2? ?設備檢修計劃?月份計劃檢修設備及臺數(shù)月份計劃檢修設備及臺數(shù)一 月一臺磨床四月一臺立式鉆床二 月二臺立式鉆床五月一臺磨床和一臺立式鉆床三 月一臺鏜床六月一臺刨床和一臺水平鉆床?表3? 產品的市場銷售量上限(件/月)產品1234567一月5001000300300800200100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060?生產過程中,各種工序沒有先后次序的要求 1) 制定六個月的生產、庫存、銷售計劃, 使六個月的總利潤最大2) 在不改變以上計劃的前提下, 哪幾個月中哪些產品的售價可以提高以達到增加利潤的目的價格提高的幅度是多大?(3) 哪些設備的能力應該增加? 請列出購置新設備的優(yōu)先順序。

4) 是否可以通過調整現(xiàn)有的設備檢修計劃來提高利潤? 提出一個新的設備檢修計劃, 使原來計劃檢修的設備在這半年中都得到檢修而使利潤盡可能的 增加5) 構造一個最優(yōu)設備檢修計劃模型,使在這半年中各設備的檢修臺數(shù)滿足案例中的要求且使利潤為最大?二、問題的假設和符號的說明1、問題的假設（1）成本不會隨著檢修方案的改變而改變2）產品的生產不會隨檢修方案的改變而受影響3) 產品的生產和庫存還有銷售必須是整數(shù)2、符號的說明（1）假設Xij為第i種產品在第j個月的產量,i=1,2…7，j=1,2…62）假設Yij為第i種產品在第j個月的庫存量，i=1,2…7，j=1,2…63）假設Sij為第i種產品在第j個月的庫銷售量，i=1,2…7，j=1,2…6?三、問題的分析工廠每天開兩班, 每班8小時,為簡單計, 假定每月都工作24天則一個月的總工作時間為24×8×2=384小時由設備檢修計劃表，我們可得設備每個月可以供工作的時間（單位：小時）為：表4月份123456磨床384×3384×4384×4384×4384×3384×4立鉆384×2384×0384×2384×1384×1384×2水平鉆384×3384×3384×3384×3384×3384×2鏜床384×1384×1384×0384×1384×1384×1刨床384×1384×1384×1384×1384×1384×0我們先把上述表4和表1等數(shù)據化為數(shù)學符號：?????????????????????????????????? ??X11 X12 X13 X14 X15 X160.50 0.70 0.00 0.00 0.30 0.20 0.50????????????? X21 X22 X23 X24 X25 X26? ?0.10 2.00 0.00 0.30 0.00 0.60 0.00?????????????? X31 X32 X33 X34 X35 X360.20 6.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.60 ?????×????? ?X41 X42 X43 X44 X45 X46????0.05 0.03 0.00 0.07 0.10 0.00 0.08??????????????? X51 X52 X53 X54 X55 X560.00 0.00 0.01 0.00 0.05 0.00 0.05?????????????? X61 X62 X63 X64 X65 X66?????????????????? ????????????????????????????????????????????????X71 X72 X73 X74 X75 X76=(aij)5×6假設該矩陣為A，aij為第i種設備在第i個月被使用的時間。

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????384×3 384×4 384×4 384×4 384×3 384×4?????????????????????????????????????????????????????????? 384×2 384×0 384×2 384×1 384×1 384×2????????? 384×3 384×3 384×3 384×3 384×3 384×2????????? 384×1 384×1 384×0 384×1 384×1 384×1????????? 384×1 384×1 384×1 384×1 384×1 384×0??=(bij)5×6假設該矩陣為B，bij為第i種設備在第i個月可以供使用的時間。

則得到30個約束條件為： aij<=bij(i=1,2…5,j=1,2…6)⑴?? 每種產品的最大庫存量為100件，則得42個約束條件為：Yij<=100（i=1,2…7，j=1,2…6）⑵??? 由生產量和庫存量，可以得到每種產品每個月的銷售量（單位：件）為：?Si1=Xi1-Yi1;Sij=Xij+Yi,j-1-Yij;i=1,2…7，j=2,3…6???? 將上述表3的相關銷售量上限數(shù)據化為數(shù)學符號得：??????? ????????????????????????????????????? ??500 ?600 300 200 0? ??500???????? ??1000 ?500 600 300 100 ?500???????? ??300? ?200 0?? 400 500 ?100?????? =(Cij)7×6，假設設該矩陣為C，Cij為?????????? 300?? 0?? 0? ?500 100 ?300?????????? 800? ?400 500 200 1000 1100? ?????????200? 300 400? 0? 300 ??500?????????? 100? 150 100 100? 0??? 60????????第i種產品在第j個月的銷售上限,其中i=1,2…7，j=1,2…6。

則得到42個約束條件：Sij<= Cij（i=1,2…7，j=1,2…6）⑶要求在六月底,每種產品都至少要有50件庫存，則得7個約束條件為：Yi7>=50(i=1，2…7)⑷??? ?我們把單位產品的利潤化為數(shù)學符號得I=（10，6，3，4，1，9，3）X=（∑x1j,∑x2j, ∑x3j, ∑x4j, ∑x5j, ∑x6j, ∑x7j）（i=1,2…6）；則Xij=∑xij 是指第i種產品六個月的總生產量S=（∑s1j,∑s2j, ∑s3j, ∑s4j, ∑s5j, ∑s6j, ∑s7j）=(∑X1j- Y16, ∑X2j- Y26, ∑X3j- Y36, ∑X4j- Y46, ∑X5j- Y56, ∑X6j- Y66,∑X7j- Y76)（j=1,2…6）；則Si=∑sij 是指第i種產品六個月的總銷售量其中Si=∑Xij- Yi6是因為產品的總銷售量等于總的生產量減去最后的庫存量T=（∑Yi1,∑Yi2, ∑Yi3, ∑Yi4, ∑Yi5, ∑Yi6）(i=1,2…7)；則Tj=∑Yij 是指第j個月這七種產品的總庫存量???? 通過以上的分析，我們最終可得出利潤為：Z=S·I-0.5×∑∑Yij。

四、模型的建立和問題的求解1、制定六個月的生產、庫存、銷售計劃, 使六個月的總利潤最大通過問題的分析，我們可能得到模型如下：Max z=(∑X1j- Y16) ×10+（∑X2j- Y26）×6+（∑X3j- Y36）×3+（∑X4j- Y46）×4+（∑X5j- Y56）×1+（∑X6j- Y66）×9+（∑X7j- Y76) ×3-0.5×∑∑Yij；（i=1,2…7，j=1,2…6）S.t.0.50 X11+0.70 X21+0.00 X31+0.00 X41+0.30 X51+0.20 X61+0.50 X71<= 384×30.10 X11+2.00 X21+0.00 X31+0.30 X41+0.00 X51+0.60 ?X61+0.00 X71<= 384×20.20 X11+6.00X21+0.80X31+ 0.00X41+ 0.00X51+ 0.00X61+ 0.60 X71<=384×30.05 X11+ 0.03 X21+ 0.00 X31+ 0.07 X41+ 0.10 X51+ 0.00 X61+ 0.08 X71<=。