初三數(shù)學(xué)九上壓軸題難題提高題培優(yōu)題　一．解答題（共8小題）1．如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點(diǎn)M．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）D為拋物線(xiàn)在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線(xiàn)段AM于點(diǎn)F，求線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似（不包括全等）？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線(xiàn)y=ax2+bx（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)OM，求∠AOM的大??；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)y=2x交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；（3）P為此拋物線(xiàn)在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線(xiàn)AC分為1：2兩部分？4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，﹣4），OB=2，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，試求AM+OM的最小值；（3）在此拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B （4，3）．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)且平行于y軸的直線(xiàn)交線(xiàn)段AB于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．6．如圖1，已知拋物線(xiàn)的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．（1）若拋物線(xiàn)C1過(guò)點(diǎn)M（2，2），求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)H，使得BH+EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線(xiàn)C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2﹣（b+1）x+（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 ?。ㄓ煤琤的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線(xiàn)段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線(xiàn)段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．　初三數(shù)學(xué)九上壓軸題難題提高題培優(yōu)題參考答案與試題解析　一．解答題（共8小題）1．如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點(diǎn)M．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）D為拋物線(xiàn)在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線(xiàn)段AM于點(diǎn)F，求線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似（不包括全等）？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：由題意可知．解得．∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣．（2）將x=0代入拋物線(xiàn)表達(dá)式，得y=1．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)直線(xiàn)MA的表達(dá)式為y=kx+b，則．解得．∴直線(xiàn)MA的表達(dá)式為y=x+1．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）．DF==．當(dāng)時(shí)，DF的最大值為．此時(shí)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）．（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似．設(shè)P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限．①設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線(xiàn)MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在．②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線(xiàn)MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）．③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，若AN=3PN時(shí)，則﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．當(dāng)m=2時(shí)，．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）．若PN=3NA，則﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，﹣39）．綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．　2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線(xiàn)y=ax2+bx（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)OM，求∠AOM的大小；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．將A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2﹣x；（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴點(diǎn)C不可能在點(diǎn)B的左側(cè)，只能在點(diǎn)B的右側(cè)．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC與△AOM相似，有如下兩種可能：①△BAC與∽△OAM，②△BAC與∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①當(dāng)△BAC與∽△OAM時(shí)，由=得，解得BC=4．∴C1（8，0）．②當(dāng)△BAC與∽△OMA時(shí)，由=得，解得BC=12．∴C2（16，0）．綜上所述，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）或（16，0）．　3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)y=2x交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；（3）P為此拋物線(xiàn)在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線(xiàn)AC分為1：2兩部分？【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴拋物線(xiàn)的解析式為：；（2）易知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，8）；∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8；連接DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M；在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的長(zhǎng)為：；（3）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b；∵直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得；∴直線(xiàn)AC的解析式為：；設(shè)點(diǎn)，PG交直線(xiàn)AC于N，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，∵S△PNA：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；當(dāng)m=﹣3時(shí)，=；∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；當(dāng)m=﹣12時(shí)，=；∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線(xiàn)AC分成1：2兩部分．　4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，﹣4），OB=2，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，試求AM+OM的最小值；（3）在此拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），將A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c，得解得：∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．答：拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．（2）由，可得，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，且對(duì)稱(chēng)軸x=1是線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)，連接AB交直線(xiàn)x=1于點(diǎn)M，M點(diǎn)即為所求．∴MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值為．答：MO+MA的最小值為．（3）①若OB∥AP，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），則得梯形OAPB．②若OA∥BP，設(shè)直線(xiàn)OA的表達(dá)式為y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．設(shè)直線(xiàn)BP的表達(dá)式為y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直線(xiàn)BP的表達(dá)式為y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合題意，舍去）當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣12，∴點(diǎn)P（﹣4，﹣12），則得梯形OAPB．③若AB∥OP，設(shè)直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=kx+m，則，解得，∴AB的表達(dá)式為y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直線(xiàn)OP的表達(dá)式為y=x．由，得 x2=0，解得x=0，（不合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P不存在．綜上所述，存在兩點(diǎn)P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯。