1．（1）操作發(fā)現(xiàn)·如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF＝DF，你同意嗎？說明理由．GBCEFAD（2）問題解決保持（1）中的條件不變，若DC＝2DF，求的值；（3）類比探究保持（1）中的條件不變，若DC＝n·DF，求的值．2．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75o，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）求證：AB＝BC；（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點(diǎn)，∠FBC＝30o．ABCDE圖2FABCDE圖1求 的值．3.如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．點(diǎn)P、Q分別在線段AE、DF上，順次連接B、P、Q、C，線段BP、PQ、QC、CB所圍成的封閉圖形記為M．若點(diǎn)P在線段AE上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q也隨之在線段DF上運(yùn)動，使圖形M的形狀發(fā)生改變，但面積始終為10cm2．設(shè)EP＝x cm，F(xiàn)Q＝y(tǒng) cm，解答下列問題：（1）直接寫出當(dāng)x＝3時(shí)y的值；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，圖形M成為等腰梯形？圖形M成為三角形？（4）直接寫出線段PQ在運(yùn)動過程中所能掃過的區(qū)域的面積．ABCDEF（備用圖）ABCDEFQP圖①4．如圖①，將一張矩形紙片對折，然后沿虛線剪切，得到兩個（不等邊）三角形紙片△ABC，△A1B1C1．圖 ①ABCA1B1C1（1）將△ABC，△A1B1C1如圖②擺放，使點(diǎn)A1與B重合，點(diǎn)B1在AC邊的延長線上，連接CC1交BB1于點(diǎn)E．求證：∠B1C1C＝∠B1BC．C1CB1BA(A1)E圖 ②（2）若將△ABC，△A1B1C1如圖③擺放，使點(diǎn)B1與B重合，點(diǎn)A1在AC邊的延長線上，連接CC1交A1B于點(diǎn)F．試判斷∠A1C1C與∠A1BC是否相等，并說明理由．C1CA1BA(B1)F圖 ③5．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝，P是AC上的一個動點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠ABC的平分線上時(shí)，連接DP，求DP的長；（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中出現(xiàn)PD＝BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；ABCD（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)□DPBQ的面積．6．如圖1，已知長方形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB＝2AD．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）保持圖1中ABC的固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明；（3）保持圖2中△ABC的固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）．試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明．ABCDE圖2NMABCDE圖3NMABCDE圖17．如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，將圖1中的∠MAN繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜120°），邊AM、AN分別交直線BC、CD于E、F兩點(diǎn)．（1） 當(dāng)0°＜α≤60°時(shí)，其他條件不變，如圖2、如圖3所示．①如圖2，判斷線段BE、DF、EF的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；②如圖3，①中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請利用圖3證明；若不成立，說明理由．圖2ABCDMNEF圖1ABCDMN圖4ABCD圖3ABCDMFEN（2）當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，其他條件不變，請?jiān)趫D4中畫出一個符合條件的圖形，直接寫出所畫圖形中線段BE、DF、EF的數(shù)量關(guān)系．8．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF＝CD；（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；FEABCD圖②FEABCD圖①（3）若點(diǎn)D是BC邊的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．9．如圖1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＜AB＜2BC．在AB邊上取一點(diǎn)M，使AM＝BC，過點(diǎn)A作AD⊥AB且AD＝BM，連接DC，再過點(diǎn)A作AN∥DC，交直線CM、CB于點(diǎn)E、N．（1）求證：∠AEM＝45°；（2）若將題中的條件“BC＜AB＜2BC”改為“AB＞2BC”，其它條件不變，請?jiān)趫D2中畫出圖形，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請猜想∠AEM的度數(shù)，并說明理由．NEDCABM圖1CAB圖210．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ．（1）若α＝60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點(diǎn)D，請補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大小（用含α的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ＝QD，請直接寫出α的范圍．圖2ABCQPM圖1ABCQM(P)11．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)，連接AD、BE，F(xiàn)為線段AD的中點(diǎn)，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，BE與CF的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________，請證明；（2）如圖2，把△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明；ABCDEF圖2ABCDEF圖112.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． FBADCEG第24題圖① FBADCEG第24題圖②13. 如圖1，在等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，.（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM（第25題）。