2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及詳細解析說明：1． 評閱試卷時，請依據本評分標準選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次2． 如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的請將正確答案的代表字母填在題后的括號內每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分1．使關于的不等式有解的實數(shù)的最大值是（ ）A． B． C． D．2．空間四點A、B、C、D滿足則的取值（ ）A．只有一個 B．有二個 C．有四個 D．有無窮多個6.記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2020個數(shù)是（　　　　）A．　　B．C．　　D．二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上。

7.將關于的多項式表為關于的多項式其中則 .8.已知是定義在上的減函數(shù)，若成立，則的取值范圍是 12.如果自然數(shù)的各位數(shù)字之和等于7，那么稱為“吉祥數(shù)”.將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列若則 .三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13.數(shù)列滿足：證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)對任意為完全平方數(shù)14.將編號為1,2，…，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使S達到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經旋轉或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認為是相同的放法）15.過拋物線上的一點A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足;點F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題（二）及參考答案 二、（本題滿分50分） 設正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足 求函數(shù)的最小值.三、（本題滿分50分） 對每個正整數(shù)n，定義函數(shù) （其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)， 試求：的值. 2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽解答一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的。

請將正確答案的代表字母填在題后的括號內每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分1．使關于的不等式有解的實數(shù)的最大值是（ ）A． B． C． D．2．空間四點A、B、C、D滿足則的取值（ ）A．只有一個 B．有二個 C．有四個 D．有無窮多個【答案】A【解析】注意到由于則=即只有一個值得0，故選A3．內接于單位圓，三個內角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于、、則的值為（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】如圖，連，則 5.方程表示的曲線是（　　?。〢．焦點在軸上的橢圓　　　　　　B．焦點在軸上的雙曲線C．焦點在軸上的橢圓　　　　　　D．焦點在軸上的雙曲線【答案】C【解析】即又方程表示的曲線是橢圓即曲線表示焦點在軸上的橢圓，選C二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上7.將關于的多項式表為關于的多項式其中則 . 【答案】【解析】由題設知，和式中的各項構成首項為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取有9.設、、滿足，若對于任意則 。

【答案】【解析】設由，知，即又 只有10.如圖，四面體DABC的體積為，且滿足則 .【答案】【解析】即又等號當且僅當時成立，這時面ABC，.11.若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個頂點在拋物線上.則該正方形面積的最小值為　　　　.【答案】80【解析】設正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長為則①在上任取一點（6，,5），它到直線的距離為②.①、②聯(lián)立解得或三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13.數(shù)列滿足：【解析】證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)對任意為完全平方數(shù)證明：（1）由題設得且嚴格單調遞增.將條件式變形得兩邊平方整理得?、佟、冖?②得?、塾散凼郊翱芍?，對任意為正整數(shù).14.將編號為1,2，…，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使S達到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經旋轉或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認為是相同的放法）【解析】九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個，相當于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉因素，則本質不同的放法有種. …5分下求使S達到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設是依次排列于這段弧上的小球號碼，則上式取等號當且僅當，即每一弧段上的小球編號都是由1到9遞增排列.因此.由上知，當每個弧段上的球號確定之后，達到最小值的排序方案便唯一確定.在1,2，…，9中，除1與9外，剩下7個球號2,3，…，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情況，每種情況對應著圓周上使S值達到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是種，故所求概率15.過拋物線上的一點A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足;點F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.當時，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點軌跡上.因C與A不能重合，∴∴所求軌跡方程為解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點. 令則因為CD為的中線，而是的重心.設因點C異于A，則故重心P的坐標為消去得故所求軌跡方程為2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題（二）及參考答案一、（本題滿分50分） 如圖，在△ABC中，設AB>AC，過A作△ABC的外接圓的切線l，又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于D；交直線l于E、F。

證明：直線DE、DF分別通過△ABC的內心與一個旁心 （2）再證DF過△ABC的一個旁心. 連FD并延長交∠ABC的外角平分線于I1，連II1、B I1、B I，由（1）知，I為內心， ∴∠IBI1=90°=∠EDI1，∴D、B、l1、I四點共圓， ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°－∠ADI1 =（∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I1共線. I1是△ABC的BC邊外的旁心二、（本題滿分50分） 設正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足 求函數(shù)的最小值. 求函數(shù)、、）=的最小值. 令則 且 同理， +（取等號當且僅當，此時，三、（本題滿分50分） 對每個正整數(shù)n，定義函數(shù) （其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)， 試求：的值.示例如下：ji1234561******2***3**4*56* 則……② 由此，……③ 記易得的取值情況如下：k123456789101112131415356678698881071010 因此，……④2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試第2題的探討本文對2020年的全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試第2題的解法及來歷作以探討，供感興趣的讀者參考題目：設正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足 ；，求函數(shù)的最小值。

一．幾種迷茫思路的分析這道題目初看起來比較平易，給人一種立刻想到直接使用Cauchy不等式的通暢思路的驚喜，殊不知，這是一個極大的誤區(qū)，本題的難度和技巧正好在這里設置了較好的陷阱思路一：由Cauchy不等式知到此，在u＞0的情況下，力圖使用函數(shù)的性質無法得到最小值思路二：考慮到題目的條件是6個變量的3個等量關系，于是，可根據三個條件等式容易求出x、y、z用a、b、c表達的式子：因為a、b、c；x、y、z都是正數(shù)，所以， 到此，似乎勝利的曙光就在眼前，立刻想到在區(qū)間內使用函數(shù)的性質，但也無法得到最小值，而此時的最大值正好與題目的最小值（由于函數(shù)的對稱性，可以猜測其最小值在A=B=C=600時達到）吻合，實際上，這是一條無用的信息（表明使用Cauchy不等式過當?。谴痤}人再次陷入不能自拔的困境俗話說得好，失敗是成功之母，上面的思路也昭示我們，對原式不能直接使用Cauchy不等式，需要再對原式做更好的更有用的恒等變形，可能是正確的途徑二．賽題的解答為證明本賽題，我們先證明如下一個引理引理：在△ABC 中，求證：　　　　　　 　?、俚忍柍闪⒌臈l件是△ABC為等邊三角形證明：用向量方法證明如下設是平面上的單位向量，且成角為π-A, 成角為π-B, 成角為π-C,那么， ,所以 注意到，在△ABC 中有熟知的等式：.從而①得證。

有了上面的引理，本題的解答就容易多了，下面看本題的解法解：同思路二得到，以a、b、c為對應邊可以構成一個銳角△ABC， 令從而 等號成立的條件顯然是A=B=C=600時達到，最后一個不等式是根據引理而得到的所以，的最小值為.顯然，在時，等號成立，所以的最小值為.三．背景探索早在1994年，華東交大劉健先生就提出了如下猜想命題：在△ABC中，是否有： ②后來，湖南師大附中黃軍華（現(xiàn)為深圳中學教師）先生在文[1]曾證明了這一猜想請看證明：分兩種情況（1）當△ABC為鈍角三角形時，此時不妨設A＞900， 于是 ，所以 ,∴ 再據 ，所以，即三角形為非鈍角三角形時結論也成立，綜上結論得證對比③之后的敘述與今年的這道競賽加試第2題的解法，不難知道，今年的這道賽題無非是在②的第2種情況的基礎上增加了一個解方程組的程序（并由此判斷△ABC為銳角三角形）罷了，即今年的這道加試題可以看作是由解方程組（初中知識的要求），判斷三角形種類、與求最值（高中知識的要求）三個問題的簡單合。