第六章 位移法和力矩分配法一、基本內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求 本章內(nèi)容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的確定，位移法的計算步驟和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法計算連續(xù)梁和無結(jié)點線位移剛架，超靜定結(jié)構(gòu)的受力分析和變形特點等重點是位移法的基本原理及用位移法計算剛架，力矩分配法的基本原理和計算方法 位移法是解算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演變出來的常用漸進解法通過本章學(xué)習(xí)應(yīng)達到： (1)掌握位移法的基本原理，準確判定位移法的基本未知量 (2)靈活應(yīng)用等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，確定各種外因影響下的桿端彎矩和桿端剪力 (3)熟練掌握位移法計算超靜定梁和剛架的方法及步驟對照力法典型方程，加深對位移法典型方程的理解 (4)掌握力矩分配法的計算原理和步驟，會計算連續(xù)梁和無結(jié)點線位移剛架 (5)初步了解超靜定結(jié)構(gòu)的受力特點和變形性能根據(jù)不同結(jié)構(gòu)選擇合理的計算方法二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) (一)位移法的解題思路 §6—l以兩跨連續(xù)梁為例說明了位移法的解題思路： (1)把超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為由單跨超靜定梁構(gòu)成的組合體，用后者代替前者計算。

(2)利用單跨梁已知的轉(zhuǎn)角位移方程，應(yīng)用變形協(xié)調(diào)條件，建立結(jié)點位移與單跨梁桿端內(nèi)力問的關(guān)系 (3)根據(jù)組合體與原結(jié)構(gòu)受力一致應(yīng)滿足的平衡條件，建立以結(jié)點位移為基本未知量的位移法方程 (4)解方程求出結(jié)點位移，進而計算單跨梁的桿端內(nèi)力教材§6—3以示例闡明了位移法的計算步驟和實際應(yīng)用此外，教材§6—4介紹了建立位移法方程的另一途徑，即首先選取基本結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)基本結(jié)構(gòu)受力和變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致的條件建立位移法典型方程，求出其系數(shù)和自由項，同樣解方程求得結(jié)點位移并繪出最后彎矩圖其實，兩種方式本質(zhì)完全相同，只是建立方程的途徑不同而已針對圖6．1 a所示剛架的計算過程，可做如下扼要對比(表6．1)二)位移法的基本未知量與基本結(jié)構(gòu)教材§6—2對位移法的基本未知量已做介紹，§6—4又講到基本未知量和附加約束的關(guān)系現(xiàn)將兩者聯(lián)系起來予以說明，請讀者細心領(lǐng)會1)剛結(jié)點的角位移是獨立基本未知量，因而剛結(jié)點上必須加入附加剛臂予以固定；獨立的結(jié)點線位移也是基本未知量，故需用附加鏈桿加以控制基本未知量與附加約束的數(shù)目相等且具有一一對應(yīng)的關(guān)系如圖6．1a所示剛架具有一個結(jié)點角位移和一個結(jié)點獨立線位移，相應(yīng)就應(yīng)加上一個附加剛臂和一根附加鏈桿(圖6．1b)。

在確定基本未知量的同時，基本結(jié)構(gòu)也隨之確定2)討論結(jié)點獨立線位移時引用了兩個假定：受彎直桿忽略軸向變形和剪切變形的影響，桿件變形是微小的即認為直桿變形后軸線長度不變且弦長近似等于弧長，于是得出"受彎直桿在變形后兩端距離保持不變"的結(jié)論，稱之桿長不變假定位移法和力矩分配法都引用這一假定，從而減少了結(jié)點獨立線位移的數(shù)目3)位移法著眼把原結(jié)構(gòu)的所有桿件化為單跨超靜定梁教材表5-1已給出三種單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力，只要將桿件化為其中的一種，就能用最少的基本未知量(或附加約束)求解如圖6．2a所示剛架在外因影響下剛結(jié)點2、6發(fā)生角位移，故應(yīng)分別加入附加剛臂，柱頂產(chǎn)生的水平位移相同，只需在橫梁端部加入一根水平鏈桿這樣桿56和12變成兩端固定梁，桿24、34、64成為一端固定一端鉸支梁，結(jié)點4無需加入附加剛臂，其基本結(jié)構(gòu)(圖6．2b)共有3個基本未知量同理，圖6．3 a所示剛架在結(jié)點B加入附加剛臂后，桿AB成為兩端固定梁，桿BC成為B端固定C端定向支承梁，支座C無需再加豎向附加鏈桿，其基本結(jié)構(gòu)(圖6．3b)只有結(jié)點B的角位移一個基本未知量又如圖6．4a所示橫梁抗彎剛度為無窮大的剛架，橫梁不發(fā)生任何變形(相當(dāng)于剛片)只有三個運動自由度，而AC、BD兩桿與基礎(chǔ)相連使C、D兩點不能沿豎向運動，橫梁只剩下一個沿CD方向發(fā)生平移的自由度。

位移法僅有這個基本未知量，橫梁端部加入水平鏈桿即得基本體系如圖6．4b所示此時橫梁雖無變形，內(nèi)力卻依然存在，這是需要注意的4)桿長不變假定只適用于受彎直桿，不適用于受彎曲桿和折桿如圖6．5 a所示鋸齒形剛架的位移法基本結(jié)構(gòu)如圖6．5b所示，基本未知量為7個(3個角位移、4個獨立線位移)這種外因影響下柱頂水平間距發(fā)生改變的結(jié)構(gòu)稱為跨變結(jié)構(gòu)這一假定也不適用于桁架及組合結(jié)構(gòu)中需考慮軸向變形的二力桿如圖6．6a所示桁架結(jié)點1受荷載作用時，各桿承受軸力并產(chǎn)生軸向變形，結(jié)點1發(fā)生水平和豎向線位移，其基本結(jié)構(gòu)如圖6．6b所示 (三)位移法典型方程的物理意義教材§6—4以剛架為例，說明了利用基本體系附加約束上反力偶(反力)為零的條件建立位移法典型方程的過程，以下著重解釋位移法典型方程及其系數(shù)和自由項的物理意義圖6．7a所示剛架的基本體系如圖6．7b所示，未知量為一個結(jié)點角位移和一個結(jié)點獨立線位移當(dāng)基本結(jié)構(gòu)承受原結(jié)構(gòu)荷載并使附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移時，則其受力和變形情況(圖6．7c)便與原結(jié)構(gòu)(圖6．7a)一致進而這一思路還可分為兩步理解第一步，加入附加約束，使各桿變?yōu)閱慰绯o定梁，承受荷載時(圖6．7d)的桿端力即為固端力(可由教材表5—1得到)，這一步稱為固定過程。

此時桿端內(nèi)力相互間不會平衡，如結(jié)點1的其中第一式表明基本結(jié)構(gòu)在荷載、角位移Z1和線位移Z2的共同作用下，附加約束1(即結(jié)點1的附加剛臂)上的總反力偶R1等于零，這實際上反映了結(jié)點1的力矩平衡條件從圖c取出結(jié)點1作隔離體(圖6．8a所示，只考慮力矩平衡未繪其他內(nèi)力)，由∑M1=0有R1=M12+M13=0這就是結(jié)點l桿端彎矩間的力矩平衡條件同理，第二式表明基本結(jié)構(gòu)在荷載、Z1和Z2共同作用下附加約束2(即結(jié)點2的附加鏈桿)上的總反力R2等于零，它反映的是原結(jié)構(gòu)柱頂剪力間的平衡條件(橫梁的隔離體見圖6．8b，只考慮剪力平衡未繪其他內(nèi)力)，由∑Fr=0有 R2=FQ13+FQ24=0稱為層間剪力平衡條件典型方程中的每一個都代表一個平衡條件，這與直接建立位移法方程也是一致的四)位移法與力法的比較兩種方法(均采用典型方程)的共同點：通過綜合應(yīng)用靜力平衡、變形協(xié)調(diào)及物理關(guān)系這三個方面的條件，使各自基本體系與原結(jié)構(gòu)的變形和受力情況一致，再分別利用基本結(jié)構(gòu)建立典型方程解算原結(jié)構(gòu)兩種方法的不同點：(1)基本未知量力法以結(jié)構(gòu)的多余力為基本未知量，多余力的數(shù)目等于其超靜定次數(shù)；位移法以結(jié)點的獨立位移(包括角位移和線位移)為基本未知量，與結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)無關(guān)。

2)基本結(jié)構(gòu)力法以去掉多余約束得到的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，同一原結(jié)構(gòu)可選取多種不同的基本結(jié)構(gòu)；位移法對原結(jié)構(gòu)增加附加約束，以所得的單跨超靜定梁組合體作為基本結(jié)構(gòu)，對于同一原結(jié)構(gòu)一般只有一種選擇3)建立方程的依據(jù)力法以基本體系在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相同的位移條件建立力法典型方程，實質(zhì)是幾何方程；位移法以基本體系附加約束上的總反力偶(總反力)應(yīng)等于零的平衡條件建立位移法典型方程，實質(zhì)是靜力平衡方程4)系數(shù)和自由項的物理意義力法的系數(shù)和自由項是其基本結(jié)構(gòu)沿多余力方向的位移；位移法的系數(shù)和自由項是其基本結(jié)構(gòu)附加約束處的反力偶(反力)應(yīng)當(dāng)指出，力法只用來求解超靜定結(jié)構(gòu)，而位移法則因基本未知量與結(jié)構(gòu)是否靜定無關(guān)，故可同時用于求解靜定和超靜定結(jié)構(gòu)不過手算時靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力用靜力平衡條件即可求解，因而位移法僅用于超靜定結(jié)構(gòu)，特別是采用桿長不變假定時梁和剛架的計算但機算通常并不區(qū)分結(jié)構(gòu)靜定還是超靜定，而是著眼于編制通用程序自行計算，故以位移法為基礎(chǔ)的矩陣位移法在機算中得到廣泛應(yīng)用五)力矩分配法與位移法的關(guān)系對于只有一個角位移未知量的結(jié)構(gòu)，力矩分配法可除如教材所述從結(jié)點彎矩的分配與傳遞推演外，還可由位移法導(dǎo)出。

以下進一步說明力矩分配法與位移法的關(guān)系 (1)兩者均需以附加剛臂使剛結(jié)點固定在固定狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)的差別上，力矩分配法著眼于剛結(jié)點所受不平衡力偶MF的作用，位移法則強調(diào)剛結(jié)點未發(fā)生原結(jié)構(gòu)的實際角位移Z12)為使固定狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)受力和變形一致，力矩分配法在剛結(jié)點添加反向不平衡力偶(-MF)，從受力一致出發(fā)使兩者變形相同，位移法則讓剛結(jié)點發(fā)生實際位移Z1，著眼變形相同促使同樣受力當(dāng)基本結(jié)構(gòu)受-MF作用時結(jié)點發(fā)生實際角位移Z1，結(jié)點轉(zhuǎn)動Z1時附加剛臂產(chǎn)生的反力偶大小等于-MF，兩者是一致的在給定外因作用下，結(jié)構(gòu)對應(yīng)確定的受力和變形狀態(tài)力矩分配法與位移法只是分別從受力和變形出發(fā)實現(xiàn)與原結(jié)構(gòu)的一致，兩種方法實質(zhì)是相通的計算具有兩個或兩個以上未知角位移的結(jié)構(gòu)，力矩分配法與位移法在固定狀態(tài)都是先控制剛結(jié)點角位移以計算固端彎矩放松狀態(tài)不同之處在于：位移法同時放松各結(jié)點的附加剛臂，使其發(fā)生實際角位移以與原結(jié)構(gòu)變形一致；力矩分配法則依次在各結(jié)點疊加反向不平衡力偶，使其受力情況逐漸接近真實的平衡狀態(tài)隨計算輪次(全部結(jié)點依次分配傳遞一個循環(huán)稱為一輪)增加，傳遞彎矩和不平衡力偶的絕對值越來越小，所以力矩分配法屬于漸近法。