一元二次方程整數(shù)根問題的十二種思維策略一. 利用判別式例 1.（2000 年黑龍江中考題）當 m 是什么整數(shù)時，關于 x 的一元二次方程 mx2 - 4x + 4 = 0與 x2 - 4mx + 4m2 - 4m - 5 = 0 的根都是整數(shù)解：∵方程 mx2 - 4x + 4 = 0 有整數(shù)根，∴⊿=16-16m≥0，得 m≤1又∵方程 x2 - 4mx + 4m2 - 4m - 5 = 0 有整數(shù)根∴A= 16m2 - 4(4m2 - 4m - 5) 3 05綜上所述，－ ≤m≤14∴x 可取的整數(shù)值是-1，0，1得 m 3 -54當 m=-1 時，方程為－x 2 -4x+4=0 沒有整數(shù)解，舍去而 m≠0 ∴ m=1例 2．（1996 年四川競賽題）已知方程 x2 + mx - m +1 = 0有兩個不相等的正整數(shù)根，求 m 的值解：設原方程的兩個正整數(shù)根為 x 1 ，x 2 ，則 m=－(x 1 +x 2 )為負整數(shù).∴A= m2 + 4m - 4 一定是完全平方數(shù)設 m2 + 4m - 4 = k 2 （ k 為正整數(shù)）∴ (m + 2)2 - k 2 = 8即： (m + 2 + k )(m + 2 - k ) = 8∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同ìm + 2 + k = 4 ìm + 2 + k = -2∴ ím + 2 - k = 2 或ím + 2 - k = -4? ?解得 m=1＞0（舍去）或 m=－5。

1 2當 m=－5 時 ，原方程為 x 2 -5x+6=0，兩根分別為 x =2，x =3二. 利用求根公式例 3．（2000 年全國聯(lián)賽）設關于 x 的二次方程(k 2 - 6k + 8)x2 + (2k 2 - 6k - 4)x + k 2 = 4的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實數(shù) k 的值解： A= (2k 2 - 6k - 4)2 - 4(k 2 - 4)(k 2 - 6k + 8) = 4(k - 6)2-2k 2 + 6k + 4 ± 2(k - 6)由求根公式得 x =2(k 2 - 6k + 8)即 x = -1- 2 , x = -1- 41 k - 4 2 k - 22 4由于 x≠-1，則有 k - 4 = -x1 +1, k - 2 = -x2 +12 4兩式相減，得 - = 2 x1 +1即 x1(x2 + 3) = -2x2 +1由于 x 1 ，x 2 是整數(shù)，故可求得 x1 = 2, x2 = -4 或 x1 = -2, x2 = -2 或 x1 = 1, x2 = -510分別代入，易得 k= ，6，33三. 利用方程根的定義例 4.b 為何值時，方程x2 - bx - 2 = 0 和 x2 - 2x - b(b -1) = 0 有相同的整數(shù)根？并且求出它們的整數(shù)根？解：兩式相減，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)當 b≠2 時,x=1+b,代入第一個方程,得(1+ b)2 - b(1+ b) - 2 = 0解得 b=1,x=2當 b=2 時,兩方程無整數(shù)根.∴b=1,相同的整數(shù)根是 2四.利用因式分解例 5.（2000 年全國競賽題）已知關于 x 的方程(a -1)x2 + 2x - a -1 = 0 的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù) a 有 個. 解: 當 a=1 時,x=12當 a≠1 時,原方程左邊因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0即得 x1 = 1, x2 = -1+ 1- a∵ x 是整數(shù)∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3由上可知符合條件的整數(shù)有 5 個.例 6.(1994 年福州競賽題) 當 m 是什么整數(shù)時,關于 x 的方程 x2 - (m -1)x + m +1 = 0的兩根都是整數(shù)?解：設方程的兩整數(shù)根分別是 x 1 ，x 2 ，由韋達定理得x1 + x2 = m -1L① x1 × x2 = m +1L②由② - ①消去 m ，可得 x1 x2 - x2 - x1 = 2 (x1 -1)(x2 -1) = 3 = 1′ 3 = -1′(-3)ìx1 -1 = 1 ìx1 -1 = -1則有íx-1 = 3或íx-1 = -3? 2 ? 2ìx1 = 2 ìx1 = 0解得： íx = 4 或íx= -2? 2 ? 2由此 x1 × x2 = 8 或 0，分別代入②，得 m = 7 或 m = -1五.利用根與系數(shù)的關系例 7.(1998 年全國競賽題) 求所有正實數(shù) a,使得方程 x2 - ax + 4a = 0 僅有整數(shù)根.解：設方程的兩整數(shù)根分別是 x 1 ，x 2 ，且 x1 ￡ x2由根與系數(shù)的關系得x1 + x2 = a > 0L①ax1 × x2 = 4a > 0L②由①得 2 ￡ x2 ￡ a ③將③代入②得4a = x1x2 ￡ x1a4a = x x 3 x × a1 2 1 2∴ 4 ￡ x1 ￡ 8顯然 x 1 ≠4，故 x 1 可取 5，6，7，8。

從而易得 a=25，18，16六.構(gòu)造新方程例 8.(1996 年全國聯(lián)賽)方程(x - a)(x - 8) -1 = 0 有兩個整數(shù)根,求 a 的值.解：原方程變?yōu)?(x - 8)2 + (8 - a)(x - 8) -1 = 0設 y=x-8，則得新方程為y2 + (8 - a) y -1 = 0設它的兩根為 y 1 ，y 2 ，則y1 + y2 = a - 8, y1 × y2 = -1∵x 是整數(shù)，∴y 1 ，y 2 也是整數(shù)，則 y 1 ，y 2 只能分別為 1，-1 或-1，1即 y 1 +y 2 =0 ∴a=8七.構(gòu)造等式例 9.(2000 年全國聯(lián)賽 C 卷) 求所有的正整數(shù) a,b,c,使得關于 x 的方程x2 - 3ax + 2b = 0, x2 - 3bx + 2c = 0, x2 - 3cx + 2a = 0 的所有的根都是正整數(shù).解：設三個方程的正整數(shù)解分別為 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ，則有1 23 45 6x2 - 3ax + 2b = (x - x )(x - x ) x2 - 3bx + 2c = (x - x )(x - x ) x2 - 3cx + 2a = (x - x )(x - x )令 x=1，并將三式相加，注意到 x i ≥1（i=1，2，…6），有3 - (a + b + c) = (1- x1 )(1- x2 ) + (1- x3 )(1- x4 ) + (1- x5 )(1- x6 ) 3 0 + 0 + 0 = 0但 a≥1，b≥1，c≥1，又有 3-（a+b+c）≤0，∴ 3-（a+b+c）=0故 a=b=c=1八.分析等式3例 10.(1993 年安徽競賽題) n 為正整數(shù)，方程 x2 - (有一個整數(shù)根，則 n= .3解：不妨設已知方程的整數(shù)根為α，則+1)x +3n - 6 = 0a2 - (+1)a +3n - 6 = 0整理。

得 a2 - a - 6 = 3(a - n)因為 a 為整數(shù)，所以 a2 - a - 6 為整數(shù)3(a - n) 也一定是整數(shù)，要使 3(a - n) 為整數(shù)，必有 a = n由此得 a2 - a - 6 = 0 ，即 n2 - n - 6 = 0解得 n=3 或-2（舍去）∴ n=3九.反客為主例 11.(第三屆《祖沖之杯》競賽題)求出所有正整數(shù) a,使方程 ax2 + 2(2a -1)x + 4(a - 3) = 0至少有一個整數(shù)根.解：由原方程知 x≠2，不妨將方程整理成關于的一元一次方程(x2 + 4x + 4)a = 2x +122x +12得 a = 3 1 （因為是正整數(shù)） (x + 2)2則得(x + 4)(x - 2) ￡ 0解得-4 ￡ x ￡ 2因此，x 只能取-4，-3，-1，0，1，2分別代入 a 的表達式，故所求的正整數(shù) a 是 1，3，6，10十.利用配方法例 12. (第三屆《祖沖之杯》競賽題) 已知方程(a2 -1)x2 - 2(5a +1)x + 24 = 0有兩個不等的負整數(shù)根,則整數(shù) a 的值是 . 解：原方程可變?yōu)閍2 x2 -10ax - x2 - 2x + 24 = 0即 a2 x2 -10ax + 25 = x2 + 2x +1(ax - 5)2 = (x +1)2ax - 5 = ±(x +1)6 4得： x1 = a -1 , x2 = a +1當 a-1=-1，-2，-3，-6，即 a=0，-1，-2，-5 時，x 為負整數(shù)。

1但 a=0 時，x 2 ＞0； a=-5 時,x 1 = 2 =-1又 a≠-1 ∴ a=-2十一.利用奇偶分析例 13.(1999 年江蘇第 14 屆競賽題)已知方程 x2 -1999x + a = 0 有兩個質(zhì)數(shù)根,則常數(shù) a= .解：設方程的兩個質(zhì)數(shù)根為 x 1 ，x 2 ( x 1 ＜x 2 )由根與系數(shù)的關系得 x 1 +x 2 =1999.顯然 x 1 =2,x 2 =1997,于是 a=2×1997=3994.十二.利用反證法例 14.不解方程,證明方程 x2 -1997x +1997 = 0 無整數(shù)根證明:假設方程有兩個整數(shù)根αβ,則α+β=1997,αβ=1997,由第二式知αβ均為奇數(shù),于是α+β為偶數(shù),但這與第一式相矛盾,所以α,β不可能都是整數(shù).假設方程只有一個整數(shù)根,則α+β不可能是整數(shù), 也與第一式相矛盾,所以方程不可能只有一個整數(shù)根. 綜上所述,原方程無整數(shù)根.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the 。