《高觀點(diǎn)下中學(xué)數(shù)學(xué)——分析學(xué)》練習(xí)題一參考答案一、填空題1.，2.，3. 滿射，4.代數(shù)數(shù)，5.，6.下凸7.傳遞的；8.雙射；9.；10.1）;11.1）， 12. 13.；14、甲}，{乙}，{甲，乙}}；15、單射；16、未知函數(shù)；17、；18、上凸; 19.傳遞性； 20. ； 21.可導(dǎo)； 22. ；23. ；24.（其中為常數(shù)）.25．； 26.； 27.有； 28.收斂的子列； 29.；30..二、單項(xiàng)選擇題1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.C；8.C；9.D；10.B；11. D；12. A13.D; 14.B; 15.C; 16.C; 17.D; 18. A; 19.C; 20.B; 21.A; 22.B; 23.D ;24.A; 25D； 27B； 27. A；28.C； 29.D；30.A 三、計(jì)算題1解 ， 2分， 7分故 8分2設(shè)，則， 3分代入得 8分3．解 3分令，得，易驗(yàn)證是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)， 6分極大值，極小值 8分4.解 顯然，且，即數(shù)列，單調(diào)增加且有上界，故存在，設(shè)，由可得， 5分即，解得5.解 首先計(jì)算過點(diǎn)的切線的斜率 4分所求的切線方程為 即 8分6.解 已知 （1）將代替，得 （2） 4分得 8分7.解 已知在內(nèi)，是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的定義有 5分即 而且當(dāng)時(shí)，，故是的最小值。

8分8.解 設(shè)，則 3分因，故9.解 因?yàn)?故有 5分所以有 8分10.解由方程可得，，由得，即 8分11.解 已知，對(duì)兩端關(guān)于求導(dǎo)，得 4分由 8分12. 解 已知 （1）令，即，得 （2）（2）得 6分 即， 13. 解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，求出，即 3分 5分于是，切線方程為 或 8分14. 解 由已知 4分 8分15. 解 由有 8分16. 解 因?yàn)樵趦?nèi)是上凸函數(shù)，所以由上凸函數(shù)的定義有 即有. 6分當(dāng)取時(shí)，，故是函數(shù)的最小值.17．解 則， = 所以 =0 該結(jié)果的幾何意義是平行四邊形的對(duì)角線的平方之和等于四條邊長(zhǎng)的平方之和。

18．解 已知,故 19．解 令，求的最小值 3分 =，故單調(diào)增加 5分 7分當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)增加 8分20．解 設(shè)，則 2分從而有面積 3分令 5分得，，即時(shí)，為最小值且 四、證明題1. 證明：（1）若設(shè)表示的補(bǔ)集，則有 4分（2） 8分 2. 證明：，有，故，即是的一個(gè)上界.，使得，即存在，使得故 8分3.證明：設(shè)，則，即是嚴(yán)格下凸，根據(jù) 有 8分4.證明：令，則是上的連續(xù)函數(shù).若，則選取結(jié)論得證.若，則選取結(jié)論得證. 4分否則有，則，由介值定理，存在，使得，即. 8分5.證明（1）因是滿射，即,進(jìn)一步有，故是滿射。

4分（2）采用反證法假設(shè)不是滿射，即，則存在，但設(shè)，使，由于是單射，故，即，這與是滿射矛盾說明假設(shè)矛盾，即是滿射 8分6.證明 ，因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，故存在，當(dāng)時(shí)，有 由絕對(duì)值不等式的 4分故對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，有 即在點(diǎn)連續(xù) 8分7.證明：設(shè)，則是上的連續(xù)函數(shù)，且 由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使 4分 由得，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加故有且僅有一點(diǎn)，使，即方程在內(nèi)有且僅有一實(shí)根 8分8.證明 采用反證法。

假設(shè)是周期函數(shù)，因是連續(xù)函數(shù)且不是常值，故具有最小正周期，設(shè)為選取自然數(shù)，使得故存在使 4分 另一方面，對(duì)于，有 這與式矛盾故不是周期函數(shù) 8分9. 證明：對(duì)于，有 令，則得， 6分由的任意性知， 8分10. 證明：用表示的補(bǔ)集，則（1） = = 4分（2） = = 8分11. 已知在上連續(xù)，故在有最大值與最小值，從而有 4分由介值定理，存在，使 8分12．設(shè)，對(duì)于，我們有，即在內(nèi)是嚴(yán)格下凸函數(shù)，故對(duì)于有 6分代入得 8分13. 證明 先證是單射.假設(shè)不是單射，則存在，使得，但.根據(jù)已知條件有與假設(shè)矛盾，故是單射. 4分再證是滿射.一方面，另一方面，由有即，故是滿射. （證畢） 8分14. 證明：因，對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，有，即 4分因是上的連續(xù)函數(shù)，故存在，使得當(dāng)時(shí)， 選取，從而有對(duì)于，有，所以在上有界. （證畢） 。