第一章 行列式 1. 利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式: (1); 解 =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序, 求下列各排列的逆序數(shù): (1)1 2 3 4; 解 逆序數(shù)為0 (2)4 1 3 2; 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序數(shù)為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解 逆序數(shù)為: 3 2 (1個(gè)) 5 2, 5 4(2個(gè)) 7 2, 7 4, 7 6(3個(gè)) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個(gè)) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解 逆序數(shù)為n(n-1) : 3 2(1個(gè)) 5 2, 5 4 (2個(gè)) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個(gè)) 4 2(1個(gè)) 6 2, 6 4(2個(gè)) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個(gè)) 3. 寫(xiě)出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng). 解 含因子a11a23的項(xiàng)的一般形式為(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個(gè), 即24和42. 所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是 (-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計(jì)算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3 . (2); 證明 . (3); 證明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 證明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時(shí), , 命題成立. 假設(shè)對(duì)于(n-1)階行列式命題成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則Dn按第一列展開(kāi), 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 對(duì)于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明　因?yàn)镈=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對(duì)角線上元素都是a, 未寫(xiě)出的元素都是0; 解 (按第n行展開(kāi)) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =[x+(n-1)a](x-a)n-1. (3); 解 根據(jù)第6題結(jié)果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展開(kāi)) . 再按最后一行展開(kāi)得遞推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an10. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1); 解 因?yàn)? , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因?yàn)? , , , , , , 所以, , , , . 9. 問(wèn)l, m取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當(dāng)m=0或l=1時(shí)該齊次線性方程組有非零解. 10. 問(wèn)l取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當(dāng)l=0, l=2或l=3時(shí), 該齊次線性方程組有非零解. 第二章　矩陣及其運(yùn)算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個(gè)線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設(shè), , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4. 計(jì)算下列乘積: (1); 解 . (2); 解 =(1′3+2′2+3′1)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設(shè), , 問(wèn): (1)AB=BA嗎? 解 AB1BA. 因?yàn)? , 所以AB1BA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎? 解 (A+B)21A2+2AB+B2. 因?yàn)? , 但 , 所以(A+B)21A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎? 解 (A+B)(A-B)1A2-B2. 因?yàn)? , , 而 , 故(A+B)(A-B)1A2-B2. 6. 舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的: (1)若A2=0, 則A=0; 解 取, 則A2=0, 但A10. (2)若A2=A, 則A=0或A=E; 解 取, 則A2=A, 但A10且A1E. (3)若AX=AY, 且A10, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A10, 但X1Y . 7. 設(shè), 求A2, A3, × × ×, Ak. 解 , , × × × × × ×, . 8. 設(shè), 求Ak . 解 首先觀察 , , , , × × × × × ×, . 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)k=2時(shí), 顯然成立.。