隨機(jī)過(guò)程綜合練習(xí)題一、填空題（每空3分）第一章1．是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)是 2． 3． 的特征函數(shù)為，，則的特征函數(shù)為 4．條件期望是 的函數(shù)， （是or不是）隨機(jī)變量5．是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)是 6．n維正態(tài)分布中各分量的相互獨(dú)立性和不相關(guān)性 第二章7．寬平穩(wěn)過(guò)程是指協(xié)方差函數(shù)只與 有關(guān)8．在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生的概率為，以記進(jìn)行到次試驗(yàn)為止A發(fā)生的次數(shù)， 則是 過(guò)程9．正交增量過(guò)程滿足的條件是 10．正交增量過(guò)程的協(xié)方差函數(shù) 第三章11． {X(t), t≥0}為具有參數(shù)的齊次泊松過(guò)程，其均值函數(shù)為 ；方差函數(shù)為 12．設(shè)到達(dá)某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達(dá)率分別為，，且均為泊松過(guò)程，它們相互獨(dú)立，若把這些汽車合并成單個(gè)輸出過(guò)程(假定無(wú)長(zhǎng)度、無(wú)延時(shí))，相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔的概率密度是 ，汽車之間的不同到達(dá)時(shí)刻間隔的概率密度是 。

13．{X(t), t≥0}為具有參數(shù)的齊次泊松過(guò)程， 14．設(shè){X(t), t≥0}是具有參數(shù)的泊松過(guò)程，泊松過(guò)程第n次到達(dá)時(shí)間Wn的數(shù)學(xué)期望是 15．在保險(xiǎn)的索賠模型中，設(shè)索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過(guò)程到達(dá)保險(xiǎn)公司．若每次賠付金額是均值為10000元的正態(tài)分布，求一年中保險(xiǎn)公司的平均賠付金額 16．到達(dá)某汽車總站的客車數(shù)是一泊松過(guò)程，每輛客車內(nèi)乘客數(shù)是一隨機(jī)變量．設(shè)各客車內(nèi)乘客數(shù)獨(dú)立同分布，且各輛車乘客數(shù)與車輛數(shù)N(t)相互獨(dú)立，則在[0，t]內(nèi)到達(dá)汽車總站的乘客總數(shù)是 （復(fù)合or非齊次）泊松過(guò)程．17．設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2min內(nèi)到達(dá)的顧客不超過(guò)3人的概率是 ．第四章18． 無(wú)限制隨機(jī)游動(dòng)各狀態(tài)的周期是 19．非周期正常返狀態(tài)稱為 20．設(shè)有獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列以記第n次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生，且，以記第n次試驗(yàn)時(shí)事件A不發(fā)生，且，若有，則是 鏈。

答案一、填空題1．； 2．； 3． 4．是 5．； 6．等價(jià)7．時(shí)間差； 8．獨(dú)立增量過(guò)程；9． 10．11．； 12． 13． 14． 15．240000 16．復(fù)合； 17．18．2； 19．遍歷狀態(tài)； 20．齊次馬爾科夫鏈； 二、判斷題（每題2分）第一章1．是特征函數(shù)，不是特征函數(shù) ）2．n維正態(tài)分布中各分量的相互獨(dú)立性和不相關(guān)性等價(jià) ）3．任意隨機(jī)變量均存在特征函數(shù) ）4．是特征函數(shù)，是特征函數(shù) ）5．設(shè)是零均值的四維高斯分布隨機(jī)變量，則有（ ）第二章6．嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程 ）7．獨(dú)立增量過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程 ）8．維納過(guò)程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程 ）第三章9．非齊次泊松過(guò)程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程 ）第四章10．有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返 ）11．有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不可能是閉集 ）12．有限馬爾科夫鏈，若有狀態(tài)k使，則狀態(tài)k即為正常返的 ）13．設(shè)，若存在正整數(shù)n，使得則i非周期。

）14．有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài) ）15．i是正常返周期的充要條件是不存在 ）16．平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一個(gè)基本正常返閉集 ）17．有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài) ）18．i是正常返周期的充要條件是存在 ）19．若，則有（ ）20．不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài)．（ ）答案二、判斷題1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√6．√ 7．√ 8．√ 9．×10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√ 16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√三、大題第一章1．（10分）—（易）設(shè)，求的特征函數(shù)，并利用其求2．（10分）—（中）利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，出現(xiàn)正面和反面的概率相等，求的一維分布函數(shù)和，的二維分布函數(shù)3．（10分）—（易）設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，其中A與B是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求的一維和二維分布第二章4．（10分）—（易）設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Vt+b，t∈(0,+∞), b為常數(shù)，V服從正態(tài)分布N(0，1)的隨機(jī)變量，求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。

5．（10分）—（易）已知隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值函數(shù)mx(t)和協(xié)方差函數(shù)B x(t1, t2)，g(t)為普通函數(shù)，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求隨機(jī)過(guò)程Y(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)6．（10分）—（中）設(shè)是實(shí)正交增量過(guò)程，是一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若對(duì)任一都與相互獨(dú)立，求的協(xié)方差函數(shù)7．（10分）—（中）設(shè)，若已知二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣為，求的協(xié)方差函數(shù)8．（10分）—（難）設(shè)有隨機(jī)過(guò)程和常數(shù)，試以的相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)第三章9．（10分）—（易）某商店每日8時(shí)開(kāi)始營(yíng)業(yè)，從8時(shí)到11時(shí)平均顧客到達(dá)率線性增加．在8時(shí)顧客平均到達(dá)率為5人/時(shí)，11時(shí)到達(dá)率達(dá)到最高峰20人/時(shí)，從11時(shí)到13時(shí)，平均顧客到達(dá)率維持不變，為20人/時(shí)，從13時(shí)到17時(shí)，顧客到達(dá)率線性下降，到17時(shí)顧客到達(dá)率為12人/時(shí)假定在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問(wèn)在8：30—9：30間無(wú)顧客到達(dá)商店的概率是多少？在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少? 10．（15分）—（難）設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，每個(gè)顧客購(gòu)買商品的概率為，且與其它顧客是否購(gòu)買商品無(wú)關(guān)，求（0，t）內(nèi)無(wú)人購(gòu)買商品的概率。

11．（15分）—（難）設(shè)X1(t) 和X2 (t) 是分別具有參數(shù)和的相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，證明：Y(t)是具有參數(shù)的泊松過(guò)程12．（10分）—（中）設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過(guò)程，平均每周有2戶定居．即如果每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3，一戶兩人的概率為1/3，一戶一人的概率為1/6，并且每戶的人口數(shù)是相互獨(dú)立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差13．（10分）—（難）在時(shí)間t內(nèi)向電話總機(jī)呼叫k次的概率為，其中為常數(shù)．如果任意兩相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在時(shí)間2t內(nèi)呼叫n次的概率14．（10分）—（易）設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過(guò)程是泊松過(guò)程，巳知平均每小時(shí)有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔超過(guò)2 min15．（15分）—（中）設(shè)進(jìn)入中國(guó)上空流星的個(gè)數(shù)是一泊松過(guò)程，平均每年為10000個(gè)．每個(gè)流星能以隕石落于地面的概率為0.0001，求一個(gè)月內(nèi)落于中國(guó)地面隕石數(shù)W的EW、varW和P{W≥2}． 16．（10分）—（易）通過(guò)某十字路口的車流是一泊松過(guò)程．設(shè)1min內(nèi)沒(méi)有車輛通過(guò)的概率為0.2，求2min內(nèi)有多于一輛車通過(guò)的概率。

17．（10分）—（易）設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過(guò)程是泊松過(guò)程，巳知平均每小時(shí)有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔短于4 min 18．（15分）—（中）某刊物郵購(gòu)部的顧客數(shù)是平均速率為6的泊松過(guò)程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為1／2、l／3和1／6，且相互獨(dú)立．設(shè)訂一年時(shí)，可得1元手續(xù)費(fèi)；訂兩年時(shí)，可得2元手續(xù)費(fèi)；訂三年時(shí)，可得3元手續(xù)費(fèi). 以X(t)記在[0，t]內(nèi)得到的總手續(xù)費(fèi)，求EX(t)與var X(t) 19．（10分）—（易）設(shè)顧客到達(dá)商場(chǎng)的速率為2個(gè)／min，求 (1) 在5 min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值；(2) 在5min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；(3) 在5min內(nèi)至少有一個(gè)顧客到達(dá)的概率． 20．（10分）—（中）設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過(guò)1次的概率． 21．（15分）—（難）設(shè)X(t)和Y(t) (t≥0)是強(qiáng)度分別為和的泊松過(guò)程，證明：在X(t)的任意兩個(gè)相鄰事件之間的時(shí)間間隔內(nèi)，Y(t) 恰好有k個(gè)事件發(fā)生的概率為第四章22．（10分）—（中）已知隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(3)及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率。

23．（15分）—（難）將2個(gè)紅球4個(gè)白球任意地分別放入甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放3個(gè)，現(xiàn)從每個(gè)盒子中各任取一球，交換后放回盒中(甲盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示經(jīng)過(guò)n次交換后甲盒中紅球數(shù)，則{X(n)，n≥0}為齊次馬爾可夫鏈，求（1）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（2）證明：{X(n)，n≥0}是遍歷鏈；（3）求24．（10分）—（中）已知本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下： 求下一、二個(gè)月的銷售狀態(tài)分布25．（15分）—（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I＝{1，2，…，7}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布26．（15分）—（難）設(shè)河流每天的BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間I={1，2，3，4}是按BOD濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣(以一天為單位)為若BOD濃度為高，則稱河流處于污染狀態(tài)1)證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈；(2)求該鏈的平穩(wěn)分布；(3)河流再次達(dá)到污染的平均時(shí)間27．（10分）—（易）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I＝{0，1，2，3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求狀態(tài)空間的分解28．（15分）—（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為I＝{1，2，3，4}．轉(zhuǎn)移概率矩陣為討論29．（10分）—（易）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求其平穩(wěn)分布。

30．（15分）—（難）甲乙兩人進(jìn)行一種比賽，設(shè)每局比賽甲勝的概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率為r，且p+q+r=1．設(shè)每局比賽勝者記1分，負(fù)者記一1分．和局記零分當(dāng)有一人獲得2分時(shí)比賽結(jié)束．以表示比賽至n局時(shí)甲獲得的分?jǐn)?shù)，則是齊次馬爾可夫鏈． （1）寫出狀態(tài)空間I；（2）求出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣； （3） 求甲已獲1分時(shí)，再賽兩局可以結(jié)束比賽的概率． 31．（10分）—（中）(天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題) 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過(guò)去的天氣無(wú)關(guān)．又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無(wú)雨明天有雨的概率為，規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無(wú)雨天氣為狀態(tài)l因此問(wèn)題是兩個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈．。