第七章 常微分方程 重點(diǎn)微分方程的基本概念，可分離變量方程，一階線性方程，二階線性微分方程的解法． 難點(diǎn)由實(shí)際問(wèn)題建立微分方程． 一階微分方程一、基本要求1． 了解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念．2． 能正確識(shí)別下列幾種一階微分方程：可分離變量方程、齊次方程、線性方程、貝努利方程；可降階的高階微分方程．3． 熟練掌握可分離變量方程和一階線性方程的解法．4． 會(huì)解齊次方程和貝努利方程，并從中領(lǐng)會(huì)用變換代換求解方程的思想．5． 熟練掌握可降階的高階微分方程的解法．6． 對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題能建立一階微分方程從而求解．二、要點(diǎn)1．關(guān)于常微分方程的基本概念（略）2．一階微分方程的解法 (1)　可分離變量的一階微分方程形如的方程，稱為可分離變量的微分方程．將上式兩邊同時(shí)積分即可求得通解．即．其中、在所考察的范圍內(nèi)是連續(xù)函數(shù)．若給定了初始條件，則可求得方程的特解． (2)　齊次微分方程形如的方程，稱為齊次微分方程．令，則，從而有，原方程化為可分離變量的方程：，從而兩邊積分求得通解． (3)　一階線性微分方程 形如的方程，稱為一階線性微分方程．分兩步求解① 求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 將分離變量得，從而通解為．② 用常數(shù)變易法求非齊次方程的通解設(shè)，代入原方程求得，所以為方程的通解．注意　在具體解題時(shí)，可直接代上述公式求一階線性微分方程的通解．若一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型，則其通解． (4)　貝努利方程 　形如的方程，稱為貝努利方程．兩邊同除以，令 ，則原方程化為，這是關(guān)于的一階線性方程，代入公式求通解即可．(5)　可降階的高階微分方程①型的微分方程對(duì)兩邊積分，有，，……依次進(jìn)行次積分即得通解． ②型的微分方程 方程的特點(diǎn)是右端不顯含，令，則，于是原方程化為，是關(guān)于的一階方程，若其解為，即，積分求解即可． ③型的微分方程方程的特點(diǎn)是右端不顯含自變量，令，則，于是原方程化為，是關(guān)于的一階方程，若其解為，即，再積分求解即可．二階線性微分方程一、基本要求1． 正確識(shí)別二階常系數(shù)線性齊次與非齊次微分方程．2． 熟練掌握二階常系數(shù)線性齊次與非齊次微分方程的解法．3． 熟練掌握二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)，掌握非齊次方程當(dāng)自由項(xiàng)為兩種特殊情形時(shí)通解的解法．4． 會(huì)解決簡(jiǎn)單二階方程的應(yīng)用問(wèn)題．二、要點(diǎn)關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程的解法：1．線性齊次方程的通解 解法　先解特征方程的根．設(shè)特征根為，分以下三種情況：（1） 當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，則方程的通解為．（2） 當(dāng)時(shí)，特征方程有重根，則方程的通解為．（3） 當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的復(fù)根，則方程的通解為　　　　　　?。ɡ? 若為齊次方程的兩個(gè)解，則亦是齊次方程的解，其中是任意常數(shù)．又若為線性無(wú)關(guān)時(shí)，則是齊次方程的通解．2．線性非齊次方程的通解定理 設(shè)是非齊次線性方程的一個(gè)特解，而是相應(yīng)的線性齊次方程的通解，則其和為線性非齊次方程的通解．具體解法：（1）先求的特解，由下表通過(guò)待定系數(shù)法可得自由項(xiàng)右端項(xiàng)與特征根特解形式，其中為n次多項(xiàng)式λ不是特征方程的根λ是特征方程的單根λ是特征方程的重根 或不是特征方程的根是特征方程的根其中均為次多項(xiàng)式．（2）再求對(duì)應(yīng)線性齊次方程的通解，根據(jù)定理相加即可三、典型例題（一）解各類一階微分方程1．判別下列微分方程的類型，并分別求出其通解或特解．（1）　?。?）（3）的特解　?。?）解　（１）原方程化為　　　　　，令，得，此為一階線性方程．按公式求得其通解為，于是原方程的通解為．（2）原方程為，即，它屬于貝努利方程．令，則可化為線性方程，其通解為于是原方程的通解為．（3）原方程為，它不屬于一階微分方程的四種類型，可將作自變量，作為函數(shù)，于是方程改寫成，此為的一階線性方程，其通解為 代入初始條件，得，故所求特解為．（4）原方程整理得，是齊次方程．令，則，分離變量 ，積分得　　　　　　　　　　　　．所以原方程的通解為．２． 2．求下列各微分方程的通解（1）；　?。?）．解 （1）原方程屬于類型．令，則，原方程可化為，此為的一階線性方程，其通解為 ，所以　　　　　　　　　　，分離變量后得　　　　　　，兩邊積分，得原方程的通解為．（2）原方程為屬于類型．令，則，代入原方程得，當(dāng)時(shí)，得，即為原方程的解；當(dāng)時(shí)，得　　　　　　　，分離變量　　　　　　　　　，兩邊積分　　　　　　　　，即　　　　　　　　　　　　，從而　　　　　　　　　　，分離變量，再兩邊積分后，得原方程通解為．3. 求方程為常數(shù)）的解．解　變量代換，可將原方程化為可分離變量方程．令，則，故原方程化為，即，兩邊積分得　　　　　　，于是方程所求通解為　　．4．求微分方程的通解．解 將方程改寫為，為貝努利方程（），以乘方程兩端，得，令，則，由一階線性微分方程的公式法，解得，將代回，得原方程的通解為．5．求的通解．解 交換地位，得，或　　　　　　　　　　　　　　，此為的貝努利方程．令，則上式可化為，此為一階線性微分方程，其通解為，即　　　　　　　　　　　　　　　　為原方程的通解．6．已知方程，其中，試求一連續(xù)函數(shù)滿足條件，且在內(nèi)滿足上述方程的解．解　當(dāng)時(shí)，方程其解為，因，得，即，當(dāng)時(shí)，方程為，其解為，因，于是得，即，所以，于是所求方程的解為　　　　　7．已知為可微函數(shù)，，求．解　在所給方程兩邊乘得．令，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，即 　　　　　　　　　此為一階線性方程，其解為所求．8．將下列二階常系數(shù)線性非齊次微分方程設(shè)出一個(gè)特解的形式，并說(shuō)明理由．（1）　　（2）　?。?）（4）解?。ǎ保┳杂身?xiàng)，特征根為，而不是特征根，于是設(shè)特解形式為．（２）自由項(xiàng)，特征根為，而是單根，于是設(shè)特解形式為．（３） 自由項(xiàng)，特征根，3i不是特征方程的特征根，于是設(shè)特解形式為．（４）自由項(xiàng)，方程右端為之和,由可加性，設(shè)，而特征方程的根為，而對(duì)的方程，是特征方程的單根，對(duì)的方程不是特征方程的根，于是設(shè)特解形式為．9． 設(shè)為可微函數(shù)，且求． 解　方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，整理得，得 ，代入，求得，于是 。

直接將看作函數(shù)）10．設(shè)連續(xù)，且求解　方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得再求導(dǎo)，得，解得 練習(xí) 1． 曲線上每點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，且曲線過(guò)點(diǎn)，求此曲線方程．解 設(shè)曲線的切線方程為　　　　，令，于是切線在軸上的截距為，從而，即　　　　為貝努利方程，設(shè)，上方程化為，其通解為　　　　　　　，所以　　　　　　　，因曲線過(guò)，代入上式，求得，于是所求的曲線方程為．2．已知為可微函數(shù)，且，求．解　方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，為一階線性微分方程，解得，又因?yàn)?，代入上式，得，因此所求函?shù)．3．填空：（1）已知微分方程有一個(gè)特解，則此方程的通解為 ． (2) 以函數(shù)（為任意常數(shù)，）為通解的微分方程是 ．4．已知及，求．解　方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即 ,此為二階常系數(shù)線性齊次方程，其對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，所以其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,又非齊次方程的右端函數(shù)為，不是特征根，所以非齊次方程的特解可設(shè)為，代入原方程，比較系數(shù)得，所以，于是原方程所求通解，又因，代入上式，求得，因此所求函數(shù)為．。