高中奧林匹克物理競賽解題方法五、極限法方法簡介 極限法是把某個物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論極限法在進行某些物理過程的分析時，具有獨特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準確因此要求解題者，不僅具有嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ揖哂胸S富的想象能力，從而得到事半功倍的效果賽題精講例1：如圖5—1所示， 一個質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，則物塊可能獲得的最大動能為 解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運動，后做變減速運動，據(jù)此推理，小球所受合力為零的位置速度、動能最大所以速最大時有mg=kx ① 圖5—1由機械能守恒有 ②聯(lián)立①②式解得 例2：如圖5—2所示，傾角為的斜面上方有一點O，在O點放一至斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點從O點沿直軌道到達斜面P點圖5—2的時間最短求該直軌道與豎直方向的夾角解析：質(zhì)點沿OP做勻加速直線運動，運動的時間t應(yīng)該與角有關(guān)，求時間t對于角的函數(shù)的極值即可。

由牛頓運動定律可知，質(zhì)點沿光滑軌道下滑的加速度為 該質(zhì)點沿軌道由靜止滑到斜面所用的時間為t，則 所以 ①由圖可知，在△OPC中有 所以 ②將②式代入①式得 顯然，當(dāng)時，上式有最小值.所以當(dāng)時，質(zhì)點沿直軌道滑到斜面所用的時間最短此題也可以用作圖法求解例3：從底角為的斜面頂端，以初速度水平拋出一小球，不計圖5—3空氣阻力，若斜面足夠長，如圖5—3所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H為多少？解析：當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由：，解得運動時間為該點的坐標為 由幾何關(guān)系得：解得小球離開斜面的最大距離為 這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標軸，求解則更加簡便例4：如圖5—4所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m的墻外， 從噴口算起， 墻高為4.0m 若不計空氣阻力，取圖5—4，求所需的最小初速及對應(yīng)的發(fā)射仰角解析：水流做斜上拋運動，以噴口O為原點建立如圖所示的直角坐標，本題的任務(wù)就是水流能通過點A（d、h）的最小初速度和發(fā)射仰角。

根據(jù)平拋運動的規(guī)律，水流的運動方程為 把A點坐標（d、h）代入以上兩式，消去t，得：令 上式可變?yōu)榍易钚〕跛?例5：如圖5—5所示，一質(zhì)量為m的人，從長為l、質(zhì)量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為，人和鐵板間摩擦因數(shù)為圖5—5，且>>這樣，人能使鐵板朝其跑動方向移動的最大距離L是多少？解析：人驟然停止奔跑后，其原有動量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向前沖的動量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度 由于鐵板移動的距離越大，L越大是人與鐵板一起開始地運動的速度，因此人應(yīng)以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑 人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動時，人若達到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達到最大靜摩擦，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律得： 所以 ①哈 設(shè)、分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運動時的速度 因為 ② 且 并將、代入②式解得鐵板移動的最大距離 例6：設(shè)地球的質(zhì)量為M，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的半徑為R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動的半徑為r。

試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運行軌道，發(fā)射速度 ，并用該式求出這個發(fā)射速度的最小值和最大值取R0=6.4×106m），設(shè)大氣層對衛(wèi)星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為g）解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場中運動時總機械能為一常量設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為，衛(wèi)星發(fā)射時具有的機械能為 ① 進入軌道后衛(wèi)星的機械能為 ② 由E1=E2，并代入解得發(fā)射速度為 ③ 又因為在地面上萬有引力等于重力，即：④ 把④式代入③式即得： （1）如果r=R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發(fā)射速度最小為.（2）如果，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為 例7：如圖5—6所示，半徑為R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O點正下方C點處，OC=3R/8， 半球重為G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為G/8的物體，它與半球平在間的動摩擦因數(shù)， 求無滑動時物體離球心 圖5—6O點最大距離是多少？解析：物體離O點放得越遠，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過的角度越大，但物體在球體斜面上保持相對靜止時，有限度。

設(shè)物體距球心為x時恰好無滑動，對整體以半球體和地面接觸點為軸，根據(jù)平衡條件有： 得 可見，x隨增大而增大臨界情況對應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則： .例8：有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩圖5—7與桿的夾角，如圖5—7所示1）若以水平力F作用在桿上，作用點到地面的距離為桿長），要使桿不滑倒，力F最大不能越過多少？（2）若將作用點移到處時，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是關(guān)鍵 桿的受力如圖5—7—甲所示，由平衡條件得圖5—7—甲 另由上式可知，F(xiàn)增大時，f相應(yīng)也增大，故當(dāng)f增大到最大靜摩擦力時，桿剛要滑倒，此時滿足： 解得： 由上式又可知，當(dāng)時對F就沒有限制了 （1）當(dāng)，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入的表達式得 （2）當(dāng)無論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖例9：放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為M，如圖5—8所示，板上有質(zhì)量為m的小狗以與木板成角的初速度（相對于地面）由A點跳到B點，已知AB間距離為s。

求初速度的最小值 圖5—8解析：小狗跳起后，做斜上拋運動，水平位移向右，由于水平方向動量守恒，木板向左運動小狗落到板上的B點時，小狗和木板對地位移的大小之和，是小狗對木板的水平位移 由于水平方向動量守恒，有 ① 小狗在空中做斜拋運動的時間為 ② 又 ③ 將①、②代入③式得 當(dāng)有最小值，例10：一小物塊以速度沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到頂部水平的高臺上，并由高臺上飛出，如圖5—9圖5—9 所示， 當(dāng)高臺的高度h多大時，小物塊飛行的水平距離s最大？這個距離是多少？（g取10m/s2）解析：依題意，小物塊經(jīng)歷兩個過程在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支持力，由于支持力不做功，物塊的機械能守恒，物塊從高臺上飛出后，做平拋運動，其水平距離s是高度h的函數(shù) 設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為，根據(jù)機械能守恒定律， ① 小物塊做平拋運動的水平距離s和高度h分別為： ② ③ 以上三式聯(lián)立解得： 當(dāng)時，飛行距離最大，為。

例11：軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻s，以速度起跳，如圖5—10所示，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為求能使人體重心有最大總升高的起跳角 圖5—10解析：人體重心最大總升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運動上升的高度，另一部分是人蹬墻所能上升的高度 如圖5—10—甲，人做斜拋運動，圖5—10—甲 重心升高為 腳蹬墻面，利用最大靜摩擦力的沖量可使人向上的動量增加，即 ，所以人蹬墻后，其重心在豎直方向向上的速度為 ，繼續(xù)升高，人的重心總升高 H=H1+H2=時，重心升高最大例12：如圖5—11所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，以速度沿水平的光滑軌道做勻速直線運動現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小物塊無圖5—11初速地放置在車頂前緣已知物塊和車頂之間的滑動摩擦因數(shù)為 （1）若要求物塊不會從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長？ （2）若車頂長度符合（1）問中的要求，整個過程中摩擦力共做多少功？解析：當(dāng)兩物體具有共同速度時，相對位移最大，這個相對位移的大小即為車頂?shù)淖钚￠L度 設(shè)車長至少為l，則根據(jù)動量守恒 根據(jù)功能關(guān)系 解得 ，摩擦力共做功 例13：一質(zhì)量m=200kg，高2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的 水池底部，如圖5—12所示。

桶的內(nèi)橫截面積S=0.500m2， 桶壁加桶底的體積為V0=2.50×10－2m3桶內(nèi)封有高度為圖5—12 l=0.200m的空氣池深H0=20.0m，大氣壓強p0=10.00m水 柱高，水的密度，重力加速度取g=10.00m/s2若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底到達水面處，求繩子拉力對桶所需何等的最小功為多少焦耳？（結(jié)果要保留三位有效數(shù)字）不計水的阻力，設(shè)水溫很低，不計其飽和蒸汽壓的影響并設(shè)水溫上下均勻且保持不變解析：當(dāng)桶沉到池底時，桶自身重力大于浮力在繩子的作用下 桶被緩慢提高過程中，桶內(nèi)氣體體積逐步增加，排開水的 體積也逐步增加，桶受到的浮力也逐漸增加，繩子的拉力 逐漸減小，當(dāng)桶受到的浮力等于重力時，即繩子拉力恰好 減為零時，桶將處于不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，因為若有一擾動 使桶略有上升，則浮力大于重力，無需繩的拉力，桶就會 圖5—12—甲 自動浮起，而不需再拉繩因此繩對桶的拉力所需做的最 小功等于將桶從池底緩慢地提高到浮力等于重力的位置時繩子拉桶所做的功 設(shè)浮力等于重力的不穩(wěn)定平衡位置到池底的距離為H，桶內(nèi)氣體的厚度為,如圖5—12—甲所示因為總的浮力等于桶的重力mg，因而有 有=0.350m ① 在桶由池底上升高度H到達不穩(wěn)定平衡位置的過程中，桶內(nèi)氣體做等溫變化，由玻意耳定律得 ② 由①、②兩式可得 H=12.240m 由③式可知H<（H0－），所以桶由池底到達不穩(wěn)定平衡位置時，整個桶仍浸在水中。

由上分析可知，繩子的拉力在整個過程中是一個變力對于變力做功，可以通過分析水和桶組成的系統(tǒng)的能量變化的關(guān)系來求解：先求出桶內(nèi)池底緩慢地提高了H高度后的總機械能量△E·△E由三部分組成： （1）桶的重力勢能增量 ④ （2）由于桶本身體積在不同高度處排開水的勢能不同所產(chǎn)生的機械能的。