概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題答案 第四版 盛驟 (浙江大學)浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率論的基本概念1.[一] 寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（充以百分制記分）（[一] 1），n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查 （[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關(guān)系表示下列事件1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生表示為： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生表示為： 或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一個發(fā)生 表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生， 表示為：或S－ (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生相當于中至少有一個發(fā)生。

故 表示為：7）A，B，C中不多于二個發(fā)生相當于：中至少有一個發(fā)生故 表示為：（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生相當于：AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生故 表示為：AB+BC+AC6.[三] 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1與P (A∪B)≤1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當AB=A，即A∩B時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6，（2）從(*)式知，當A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 7.[四] 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率解：P (A，B，C至少有一個發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 8.[五] 在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”∵ 從26個任選兩個來排列，排法有種。

每種排法等可能字典中的二個不同字母組成的單詞：55個∴ 9. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，2……9）記A表“后四個數(shù)全不同”∵ 后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能后四個數(shù)全不同的排法有∴ 10.[六] 在房間里有10人分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼1）求最小的號碼為5的概率記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A∵ 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能又事件A相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5這種組合的種數(shù)有∴ （2）求最大的號碼為5的概率記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種 11.[七] 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。

取得4白3黑2紅的取法有故 12.[八] 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個1）求恰有90個次品的概率記“恰有90個次品”為事件A∵ 在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有種，每種取法等可能200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有種∴ （2）至少有2個次品的概率記：A表“至少有2個次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有種∵ 且B0，B1互不相容∴ 13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對”∵ 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只取法有15.[十一] 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球放法4×3×2種 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。

放法有種從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種對A3：必須三球都放入一杯中放法有4種只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)16.[十二] 50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”法一：用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）對E：鉚法有種，每種裝法等可能對A：三個次釘必須鉚在一個部件上這種鉚法有〔〕×10種法二：用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完鉚釘要計先后次序）對E：鉚法有種，每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上這種鉚法有種17.[十三] 已知解一： 注意. 故有P (AB)=P (A)－P (A)=0.7－0.5=0.2。

再由加法定理，P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=0.7+0.6－0.5=0.8于是18.[十四] 解：由由乘法公式，得由加法公式，得19.[十五] 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每種結(jié)果（x, y）等可能A={擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點故}方法二：（用公式S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”則，故20.[十六] 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4。

求母親及孩子得病但父親未得病的概率解：所求概率為P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，這里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6.從而P (AB)= P (AB) · P(|AB)=0.3×0.6=0.18.21.[十七] 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能法三：用事件的運算和概率計算法則來作記A1，A2分別表第一、二次取得正品2）二只都是次品（記為事件B）法一： 法二： 法三： （3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一： 法二： 法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因為要注意第一、第二次的順序不能用組合作，法二： 法三： 22.[十八] 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。

Ai表第i次撥號能接通注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率 24.[十九] 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥∴ P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =[十九](2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率記C1為“從第一盒子中取得2只紅球” C2為“從第一盒子中取得2只白球” C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。

今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，。