近世代數一、單項選擇題1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，則=（ ）A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7}C、{2，3} D、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循環(huán)群與交換群關系正確的是（ ）A、循環(huán)群是交換群 B、交換群是循環(huán)群C、循環(huán)群不一定是交換群 D、以上都不對答案：A3、下列命題正確的是（ ）A、n次對換群的階為 B、整環(huán)一定是域C、交換環(huán)一定是域 D、以上都不對答案：A4、關于陪集的命題中正確的是（ ）設H是G的子群，那么A、 對于有或B、C、D、 以上都對答案：D 5、設A=R（實數域）， B=R+（正實數域） f?:a→10a??aA 則 f是從A到B的（ ）A、單射 B、滿射 C、一一映射 D、既非單射也非滿射答案：D6、有限群中的每一個元素的階都（ ）A、有限 B、無限 C、為零 D、為1答案：A7、整環(huán)（域）的特征為（ ）A、素數 B、無限 C、有限 D、或素數或無限答案：D8、若S是半群,則( )A、任意都有a(bc)=(ab)c B、任意都有ab=baC、必有單位元 D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整環(huán)Z中，6的真因子是（ ） A、 B、 C、 D、答案：B10、偶數環(huán)的單位元個數為（ ） A、0個 B、1個 C、2個 D、無數個答案：A11、設和都是非空集合，而是到的一個映射，那么（ ）A、集合中兩兩都不相同；B、的次序不能調換；C、中不同的元對應的象必不相同；D、一個元的象可以不唯一。

答案：B12、指出下列那些運算是二元運算（ ）A、在整數集上，； B、在有理數集上，；C、在正實數集上，；D、在集合上，答案：D13、設是整數集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）A、不適合交換律； B、不適合結合律； C、存在單位元； D、每個元都有逆元答案：C14、設為群，其中是實數集，而乘法，這里為中固定的常數那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）A、0和； B、1和0； C、和； D、和答案：D15、設和都是群中的元素且，那么（ ）A、； B、； C、； D、答案：A16、設是群的子群，且有左陪集分類如果6，那么的階（ ）A、6； B、24； C、10； D、12答案：B17、設是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（ ）A、的同態(tài)核是的不變子群； B、的不變子群的逆象是的不變子群； C、的子群的象是的子群； D、的不變子群的象是的不變子群。

答案：D18、設是環(huán)同態(tài)滿射，，那么下列錯誤的結論為（ ）A、若是零元，則是零元； B、若是單位元，則是單位元；C、若不是零因子，則不是零因子；D、 若是不交換的，則不交換答案：C19、下列正確的命題是（ ）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)答案：A20、若是域的有限擴域，是的有限擴域，那么（ ）A、； B、；C、； D、答案：D二、填空題1、集合A的一個等價關系需滿足自反性、對稱性和（ ） 答案：傳遞性2、設A,B都為有限集，且則（ ）.答：mn3．設是集合A＝｛平面上所有直線｝上的關系：∥或 （），則（ ）等價關系答：是4、設群G中的元素的階為m，則的充要條件是（ ）答：5、群G的非空子集H作成G的一個子群的充要條件是（ ）答：有6、次對稱群的階是（ ）答：7、設是有限群，是的子群，且在中的指數為，則（ ）答：8、設G是一個群,e是G的單位元，若且a=a,則（ ）答：a=e9、最小的數域是（ ）。

答：有理數域10、設集合A=｛1,2｝,則A×A=（ ）,2A＝（ ）答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝11、設是A的一個變換，，則（ ）答：12、設是集合A上的等價關系，（ ）等價關系答：是13、若群G中每一個元素都適合方程，則是（ ）群答：交換群14、階群是循環(huán)群的充要條件是（ ）答：中存在階的元素15、設是有限循環(huán)群，則是的同態(tài)象的充要條件是（ ）答：16、如果環(huán)R的乘法滿足交換律，即，有，則稱R為（）環(huán)答：交換環(huán)17、數集關于數的加法和乘法作成的環(huán)叫做（ ）環(huán)答：數環(huán)18、設有限域的階為81，則的特征（ ）答：319、已知群中的元素的階等于50，則的階等于（ ）答：2520、一個有單位元的無零因子（ ）稱為整環(huán)答：交換環(huán)21、如果710002601是一個國際標準書號，那么（ ）答：622.剩余類加群Z12有 （ ）個生成元.答：623、設群G的元a的階是n，則ak的階是（ ）答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公約數）24、6階循環(huán)群有 （ ）個子群.答：326、模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有（ ） 個.答：627、設集合；，則有（ ）。

答：28、如果是與間的一一映射，是的一個元，則（ ）答：29、設集合有一個分類，其中與是的兩個類，如果，那么（ ）答：31、凱萊定理說：任一個子群都同一個（ ）同構答：變換群32、給出一個5-循環(huán)置換，那么（ ）答：33、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達為（ ）答：34、若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是（ ）答：一個最大理想35、整環(huán)的一個元叫做一個素元，如果（ ）答：p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子36、若域的一個擴域叫做的一個代數擴域，如果（ ）答：E的每一個元都是F上的一個代數元三、判斷題1、設與都是非空集合，那么 （ × ）2、設、、都是非空集合，則到的每個映射都叫作二元運算 × ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射 （ √ ）4、如果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數加群同構 （ √ ）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。

（ × ）6、群的子群是不變子群的充要條件為 √ ）7、如果環(huán)的階，那么的單位元 （ √ ）8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子 （ √ ）9、中滿足條件的多項式叫做元在域上的極小多項式 （ × ）10、若域的特征是無限大，那么含有一個與同構的子域，這里是整數環(huán)， 是由素數生成的主理想 （ × ） 四、解答題1、A={數學系的全體學生}，規(guī)定關系R：，證明R是A的一個等價關系答案：自反性： 自己與自己顯然在同一個班級對稱性：若a與b同在一個班級,顯然b與a同在一個班級傳遞性：若a與b同在一個班級, b與c同在一個班級,顯然a與c同在一個班級.2、在R中的代數運算是否滿足結合率和交換率？（等式右邊指的是普通數的運算）答：因為對于，有，根據實數的加法與乘法的運算率得所以，R的代數運算既滿足結合率，又滿足交換率3、設集合，求答案：4、設，，求關于子群的左陪集分解。

答：，，因而，關于子群的左陪集分解為 5、設半群既有左單位元，又有右單位元，證明，而且是的唯一單位元答：證明（因是右單位元），（因是左單位元），得；若還有單位元，則，故是的唯一單位元6、對于下面給出的Z到Z的映射 計算答案：7、設是的不變子群，則，有答：因是的不變子群，故對于，有，于是8、設0是環(huán)的零元，則對于，答：因為，有，由于關于加法作成群，即對于加法滿足消去律，在上式中兩邊同時消去，得同理可得9、如果半群有一個左單位元，并且對于，存在左逆元，使得，則是一個群答：，由條件知，有左逆元，使得，而對于在中也存在左逆元，使得，則有所以，的左逆元也是的右逆元，即在中有逆元，又由于，知是的單位元故是一個群10、證明為無零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)中關于乘法左消去律成立答：設環(huán)沒有左零因子，如果有，則有，當時，由于沒有左零因子，得，即，中關于乘法左消去律成立反之，若在中關于乘法左消去律成立，如果，有，即，左消去得，即中非零元均不是左零因子，故為無零因子11、若是的兩個理想，則也是的一個理想答：，則有，，從而；；所以，是的一個理想12、設,,則H是G的一個子群，寫出G關于H的所有左陪集的分解.答案：,,,因而，G關于H的左陪集的分解為.13、在Q中的代數運算是否滿足結合率和交換率？答：取則，又。

所以，Q的代數運算既不滿足結合率，又不滿足交換率14、設，，求關于子群的右陪集分解答：，，因而，關于子群的右陪集分解為 15、設是有單位元的半群，，若有左逆元，又有右逆元，則是可逆元，且是的唯一的逆元答：證明。