2013年湖北省高考數(shù)學試卷（理科）　一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（2013?湖北）在復平面內(nèi)，復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于（　?。．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限　2．（5分）（2013?湖北）已知全集為R，集合，則A∩?RB=（　　）　A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}　3．（5分）（2013?湖北）在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為（　?。．（?p）∨（?q）B．p∨（?q）C．（?p）∧（?q）D．p∨q　4．（5分）（2013?湖北）將函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（　　）　A．B．C．D．　5．（5分）（2013?湖北）已知，則雙曲線的（　?。．實軸長相等B．虛軸長相等C．焦距相等D．離心率相等　6．（5分）（2013?湖北）已知點A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），則向量在方向上的投影為（　?。．B．C．D．　7．（5分）（2013?湖北）一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度的單位：s，v的單位：m/s）行駛至停止，在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：m）是（　　）　A．1+25ln5B．8+25lnC．4+25ln5D．4+50ln2　8．（5分）（2013?湖北）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有（　　）　A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4　9．（5分）（2013?湖北）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E（X）=（　　）　A．B．C．D．　10．（5分）（2013?湖北）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2）（　?。．B．C．D．　二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應題號的位置上．答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．（一）必考題（11-14題）（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選，則按第15題作答結(jié)果計分．）11．（5分）（2013?湖北）從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示：（Ⅰ）直方圖中x的值為　_________??；（Ⅱ）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為　_________?。?2．（5分）（2013?湖北）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結(jié)果i=　_________　．　13．（5分）（2013?湖北）設x，y，z∈R，且滿足：，則x+y+z=　_________?。?4．（5分）（2013?湖北）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為．記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)，正方形數(shù)N（n，4）=n2，五邊形數(shù)，六邊形數(shù)N（n，6）=2n2﹣n，…可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）=　_________?。?5．（5分）（2013?湖北）（選修4﹣1：幾何證明選講）如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E．若AB=3AD，則的值為　_________　．　16．（2013?湖北）（選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程）在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)，a＞b＞0）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l與圓O的極坐標方程分別為為非零常數(shù)）與ρ=b．若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為　_________　．　三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）（2013?湖北）在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若△ABC的面積，求sinBsinC的值．　18．（12分）（2013?湖北）已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由．　19．（12分）（2013?湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．　20．（12分）（2013?湖北）假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N（800，502）的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0．（Ⅰ）求p0的值；（參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？　21．（13分）（2013?湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，記，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．（Ⅰ）當直線l與y軸重合時，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．　22．（14分）（2013?湖北）設n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如．令的值．（參考數(shù)據(jù)：．　2013年湖北省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析　一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）考點：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．5084954專題：計算題．分析：將復數(shù)z=的分母實數(shù)化，求得z=1+i，即可求得，從而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴對應的點（1，﹣1）位于第四象限，故選D．點評：本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，將復數(shù)z=的分母實數(shù)化是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）考點：其他不等式的解法；交、并、補集的混合運算．5084954專題：計算題；不等式的解法及應用．分析：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得集合A，通過解一元二次不等式可求得集合B，從而可求得A∩CRB．解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0?（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴?RB={x|x＜2或x＞4}，∴A∩?RB={x|0≤x＜2或x＞4}，故選C．點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與元二次不等式，考查交、并、補集的混合運算，屬于中檔題．3．（5分）考點：復合命題的真假．5084954專題：閱讀型．分析：由命題P和命題q寫出對應的￢p和￢q，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”即可得到表示．解答：解：命題p是“甲降落在指定范圍”，則￢p是“甲沒降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則￢q是“乙沒降落在指定范圍”，命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”包括“甲降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”或“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”或“甲沒降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”三種情況．所以命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為（￢p）V（￢q）．故選A．點評：本題考查了復合命題的真假，解答的關(guān)鍵是熟記復合命題的真值表，是基礎(chǔ)題．4．（5分）考點：兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．5084954專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：函數(shù)解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用平移規(guī)律得到平移后的解析式，根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對稱，即可求出m的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴圖象向左平移m（m＞0）個單位長度得到y(tǒng)=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的圖象關(guān)于y軸對稱，∴m+=kπ+（k∈Z），則m的最小值為．故選B點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．5．（5分）考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．5084954專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)雙曲線的標準方程求出雙曲線的幾何性質(zhì)同，即可得出正確答案．解答：解：雙曲線的實軸長為2cosθ，虛軸長2sinθ，焦距2，離心率，雙曲線的實軸長為2sinθ，虛軸長2sinθtanθ，焦距2tanθ，離心率，故它們的離心率相同．故選D．點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質(zhì)等，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）考點：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．5084954專題：平面向量及應用．分析：先求出向量、，根據(jù)投影定義即可求得答案．解答：解：，，則向量方向上的投影為：?cos＜＞=?===，故選A．點評：本題考查平面向量數(shù)量積的含義與物理意義。