數(shù)概念教學(xué)研究引言研究了近百年，怎樣突破？就教學(xué)研究教學(xué)的局限性不言而喻歷史觀：數(shù)學(xué)文化的功能有待提升1972年成立了專門研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的國際組織（HPM）數(shù)學(xué)觀：學(xué)科統(tǒng)領(lǐng)性觀點左右教學(xué)境界不了解、曲解學(xué)科本意的改進(jìn)甚至是一種危險顧泠元）教學(xué)觀：在研究“學(xué)”的基礎(chǔ)上研究“教”研究視角：數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)課程論 整合 教學(xué)法（教學(xué)工藝學(xué)，pck）教學(xué)論心理學(xué)一、人類認(rèn)識數(shù)的歷史簡介1．?dāng)?shù)的起源：數(shù)概念源于多少的判斷最初的判斷方法是一一對應(yīng)（數(shù)學(xué)的第一次抽象）石子計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)至今原始部落的人只能區(qū)分一、二和多，比動物差“數(shù)源于數(shù)”是想當(dāng)然的解釋數(shù)逐漸被抽象生成記數(shù)符號中國最早使用兒童的“數(shù)概念”源于“數(shù)”2．分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生：源于將一個整體“打破了”再分的需要最早可追溯到古埃及我國最早建立分?jǐn)?shù)理論（九章算術(shù)系統(tǒng)研究了分?jǐn)?shù)）“上實”“下法”的形式與現(xiàn)代一致分?jǐn)?shù)線也是了不起的發(fā)明6a÷3a=2 6×a÷3×a=2a2 6a/3a=2對策：由“分”的需要引進(jìn)分?jǐn)?shù)，凸顯分?jǐn)?shù)的形成2/3 分?jǐn)?shù)線是平均分，分成了3份，取了2份3．零的產(chǎn)生最早的作用是占位中國古算書中常見用“Ο”表示，二百零五 二百Ο五數(shù)學(xué)意義上的“0”是印度人發(fā)明的，印度人認(rèn)為“空”是一種存在。

0表示：沒有+起點 0的四則運算 正負(fù)分界4．小數(shù)的產(chǎn)生比分?jǐn)?shù)要晚很多小數(shù)以十進(jìn)位值制和分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，中國在兩方面都有高度發(fā)展，所以中國小數(shù)歷史最悠久對策：學(xué)習(xí)小數(shù)主要借助整數(shù)學(xué)習(xí)的遷移5．負(fù)數(shù)的產(chǎn)生源于“盈虧”和“解方程” 用顏色等區(qū)分正負(fù)數(shù)符號都是人類文化的結(jié)晶對策：初步感知兩方面的感受：現(xiàn)實需要（收入與支出）；數(shù)學(xué)自身的需要（小數(shù)減大數(shù)）6．簡要小結(jié)數(shù)概念發(fā)展源于需要（現(xiàn)實的需要，數(shù)學(xué)的需要），歷史的順序通常是正確的順序，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的困哪，正是學(xué)生要經(jīng)歷的困難二、數(shù)系擴(kuò)展的簡述1．自然數(shù)計（記）數(shù) 符號 進(jìn)率與數(shù)位 進(jìn)位制記數(shù)法自然數(shù)與有限集合元素的個數(shù)相對應(yīng)所以規(guī)定“0”也是自然數(shù)，使自然數(shù)的“基數(shù)”功能趨于完整對策：主要研究大于0的自然數(shù)，不強(qiáng)調(diào)0除外加法、乘法在自然數(shù)N中是封閉的2．負(fù)數(shù)與分?jǐn)?shù)為了減法運算封閉，使小數(shù)能夠減大數(shù)，將自然數(shù)系擴(kuò)展為整數(shù)系為了除法運算封閉，使兩個整數(shù)（除數(shù)不為0）總能相除，將整數(shù)系擴(kuò)展為有理數(shù)系Q對策：在分?jǐn)?shù)與除法，負(fù)數(shù)教學(xué)認(rèn)識中體現(xiàn)3．無理數(shù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以為任意兩個線段相除都得有理數(shù)，但有人發(fā)現(xiàn)了公度的線段。

數(shù)學(xué)歷史上的第一次危機(jī)直到近代實數(shù)理論的建立才完全解決 整數(shù)自然數(shù) 有理數(shù) 有限或循環(huán)小數(shù) 分?jǐn)?shù) 實數(shù) 小數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)把小數(shù)看作十進(jìn)分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的權(quán)宜之計三、數(shù)概念的認(rèn)識分析舉隅1．兒童如何計數(shù)必須感悟的計數(shù)要點：一一對應(yīng)：一個數(shù)對應(yīng)一個物體數(shù)序固定：即1、2、3、4……尾數(shù)即基數(shù)：數(shù)到最后一數(shù)的值就是這個集合所含元素的個數(shù)順序無關(guān)：數(shù)的結(jié)果與數(shù)的順序無關(guān)遷移應(yīng)用：以上原則可以用于任何可數(shù)事物這些也是考慮兒童是否學(xué)會數(shù)數(shù)的評價標(biāo)準(zhǔn)2．自然數(shù)概念的形成與發(fā)展形成數(shù)的守恒：知道無論怎樣排列，總數(shù)不變計數(shù)能力的發(fā)展：按物點數(shù) 按群點數(shù)（2個2個數(shù)，5個5個數(shù)）知道數(shù)序 比較大小知道數(shù)的組成 按需分解如：376是3個百、7個十、6個一 37個十、6個一 376個一 2個百、17個十、6個一（后面的退位減法）3．分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展一個物體的幾分之一 幾分之幾一群物體的幾分之一 幾分之幾理解分?jǐn)?shù)單位大小知道分?jǐn)?shù)的等值變換根據(jù)小數(shù)意義化分?jǐn)?shù) 改寫成十進(jìn)分?jǐn)?shù)化小數(shù) 根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法四、數(shù)概念的若干教學(xué)策略1．?dāng)?shù)形結(jié)合“數(shù)缺形時少直觀”——華羅庚形讓數(shù)更直觀。

整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)皆如此）2．正例與反例“樣例”（正例）是“概念-表象”的原型如循環(huán)小數(shù)的樣例：0.233……、2.1313……、213.131313……反例則提供了從反面凸顯概念本質(zhì)的信息如反例：2.131313、0.101001000……3．過程與結(jié)果概念既表現(xiàn)為過程操作，又表現(xiàn)為對象結(jié)構(gòu)過程與結(jié)果的綜合體如小數(shù)：0.3 0.354．變式與辨析變式是改變對象的非本質(zhì)屬性的表現(xiàn)形式，以突出對象的本質(zhì)特征或某些隱蔽的本質(zhì)要素5．多元表征與算法化數(shù)的表征：實物、圖形、語言（讀）、符號（寫）如：23的多元表征367的算法化：367=3×100+6×10+7×1適當(dāng)?shù)?、因人而異的多元表征有助于促進(jìn)多角度理解，建立概念不同表證間的廣泛聯(lián)系五、數(shù)感的培養(yǎng)對數(shù)的感覺、理解首先，數(shù)感是數(shù)出來的其次，讀數(shù)也可以讀出數(shù)感1．看圖寫數(shù) 二板 三層 三點“多樣化”意在“各取所需”，適應(yīng)不同的學(xué)生2．在計算教學(xué)中發(fā)展數(shù)感如：小數(shù)乘法計算法則推導(dǎo)0.15×3=小學(xué)數(shù)學(xué)歷來重視數(shù)感的培養(yǎng)，從“自發(fā)”走向了“自覺”2．在解決實際問題中展現(xiàn)數(shù)感總而言之，數(shù)感——最樸實的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就是關(guān)于數(shù)的感覺和理解數(shù)感可以：數(shù)出來、讀出來、算出來、估出來、用出來。

六、符號意識的培養(yǎng)知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理符號：指具有某種代表意義的記號、標(biāo)識 它是意義的載體，精神的外化呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的符號：誤區(qū)：生活中的符號混同數(shù)學(xué)符號，規(guī)律的表征混同符號意識首先讓學(xué)生親近符號，接受、理解符號首先就是數(shù)字符號，然后是運算符號、數(shù)學(xué)符號、關(guān)系符號（=）可見，數(shù)學(xué)符號如同“象形文字”，符號本身就具有促進(jìn)理解、幫助記憶的數(shù)學(xué)功能任何教學(xué)藝術(shù)、任何語言描繪，都相形見拙！其次，是讓學(xué)生感悟符號表達(dá)的優(yōu)勢與作用優(yōu)勢”在于簡潔嗎？還在于“準(zhǔn)確”、“無歧義”，更在于由特殊到一般數(shù)學(xué)最終是要抽象的 。