東城區(qū)2020—2021學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測 高 三 數(shù) 學 2021.1本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘，考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1）已知集合，，則 （A） （B） （C） （D） （2）已知是公差為的等差數(shù)列，為其前項和．若，則 （A） （B） （C） （D） （3）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞增的是 （A） （B） （C） （D） （4）將正方體去掉一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側（左）視圖為 （A） （B） （C） （D） （5）與圓相切于點的直線的斜率為 （A） （B） （C） （D） （6）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 （A） （B） （C） （D） （7）設，是兩個不共線向量，則“與的夾角為銳角”是“”的 （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（8）十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三名同學從中各選一個，甲沒有選擇馬，乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（A）242種 （B）220種 （C）200種 （D）110種（9）已知拋物線的焦點到準線的距離為，過焦點的直線與拋物線交于，兩點，且，則點到軸的距離為（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（10）某公園門票單價30元，相關優(yōu)惠政策如下：①10人（含）以上團體購票9折優(yōu)惠；②50人（含）以上團體購票8折優(yōu)惠；③100人（含）以上團體購票7折優(yōu)惠；④購票總額每滿500元減100元（單張票價不優(yōu)惠）．現(xiàn)購買47張門票，合理地設計購票方案，則門票費用最少為 （A）1090元 （B）1171元 （C）1200元 （D）1210元第二部分 （非選擇題 共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11）復數(shù)_______．（12）函數(shù)的定義域是_______．（13）已知，，則_______，_______．（14）已知雙曲線，為等邊三角形. 若點在軸上，點在雙曲線上，且雙曲線的實軸為的中位線，則雙曲線的離心率為_______．（15）已知函數(shù),，其中表示不超過的最大整數(shù). 例如：,,. ①_______；②若對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍是_______． 三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程16）（本小題13分） 如圖，在四棱錐中，平面，，底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（17）（本小題13分）已知函數(shù)，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）在區(qū)間上的最大值．條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．（18）（本小題14分）為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機抽取100個水果測量質量，樣本數(shù)據(jù)分組為[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](單位：克)，其頻率分布直方圖如圖所示：頻率/組距0.0010.0030.0040.008200100質量(克)1502503003504000.002 （Ⅰ）用分層抽樣的方法從樣本里質量為[250，300)， [300，350)的水果中抽取6個，求質量在[250，300) 的水果數(shù)量；（Ⅱ）從（Ⅰ）中得到的6個水果中隨機抽取3個，記X為質量在[300，350)的水果數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學期望；（III）果園現(xiàn)有該種水果約20 000個，其等級規(guī)格及銷售價格如下表所示，質量m(單位：克)m<200200≤m<300m≥300等級規(guī)格二等一等特等價格(元/個)4710試估計果園該種水果的銷售收入.（19）（本小題15分）已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓有且僅有一個公共點，且與軸交于點(,不重合)， 軸，垂足為. 求證：.（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（I）若曲線在點處的切線平行于直線，求該切線方程（II）若，求證：當時，；（III）若有且只有兩個零點，求的值．（21）（本小題15分）給定正整數(shù)，若數(shù)列滿足：；，，則稱數(shù)列具有性質. 對于兩個數(shù)列，定義數(shù)列的項為：. （I）設數(shù)列具有性質，數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前四項和；（II）設數(shù)列具有性質，數(shù)列滿足：且. 若存在一組數(shù)列使得為常數(shù)列，求出所有可能的值；（III）設數(shù)列具有性質，數(shù)列滿足：，且.若存在一組數(shù)列，使得為常數(shù)列，求的最小值.（只需寫出結論）東城區(qū)2020-2021學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測 高三數(shù)學參考答案及評分標準 2021.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D （2）C （3）D （4）B （5）A（6）A （7）B （8）C （9）C （10）B二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)（11） （12）（13） （14）（15） 三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16）（共13分） 解：（Ⅰ）因為平面，所以.因為底面是正方形，所以.因為，所以平面.又因為平面，所以平面平面. …………………………………………………..4分（Ⅱ）因為平面，所以，.因為底面是正方形，所以.如圖建立空間直角坐標系.因為，底面為邊長為2的正方形，所以，，，，，，.，，.設平面法向量， 由可得 令，則，所以.設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為. ……………………..13分（17）（本小題13分）解：選擇條件①：（Ⅰ）． 所以的最小正周期是． ……………………………………………………………….……………….… 7分 （Ⅱ）因為 ， 所以 . 所以.所以. 當，即時，有最大值. …………………………………………………………13分選擇條件②：.（Ⅰ）． 所以的最小正周期是． ………………..……………………………………………….……………….… 7分 （Ⅱ）因為 ， 所以 . 所以.當，即時，有最大值. ……………………………………………………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）質量在[250，300)，[300，350)的該種水果的頻率分別為0.008′50=0.4，0.004′50=0.2，其比為2：1.所以按分層抽樣從質量在[250，300)，[300，350)的這種水果中隨機抽取6個，質量在[250，300)的該種水果有4個. .……………………...…………….4分（Ⅱ）由(I)可知，6個水果中有2個的質量在[300，350).所以X的所有可能取值為0，1，2.，，.所以X的分布列為X012P故X的數(shù)學期望E(X)=. .…………………….…….10分 （Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，質量在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400]的該種水果的頻率分別為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.所以估計20 000個水果中，二等品有20000′(0.1+0.1)=4 000個；一等品有20 000′(0.15+0.4)=11 000個；特等品有20 000′(0.2+0.05)=5 000個.果園該種水果的銷售收入為4 000′4+11 000′7+5 000′10=143 000(元). .…………………….……. .…………………….……. .…………………….14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）依題意，得解得. 所以橢圓的方程為. …….……. .……………………………. 4分（Ⅱ）由題設知直線的斜率存在，設直線的方程為：.由消去，整理得.依題意，有，解得.設，則,.因為ET^x軸，所以.所以.又因為，所以. …………..……. . .……….……………………….15分（20）（本小題15分）【解析】（I）因為，所以，故所以，所以，所求切線方程為，即.………………………………………………………………………………………………………………………4分（II）當時，，，當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．所以，的極小值，故，. …….………………………………………13分（III）對于函數(shù)．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，，所以在單調遞增；當時，；所以在單調遞減；當時，，所以在單調遞增；所以是的極大值，是的極小值． 因為，所以在上有且只有一個零點.由于，① 若，即，在沒有。