貴州省凱里市2018-2019學(xué)年第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（理）一、單選題1．已知集合，，則（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為集合是數(shù)集，集合是點集，所以故選：C2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)第幾象限（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由可得：，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限.故選：B3．已知，則（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】將代入上式可得：故選：B4．已知某四棱錐的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰直角三角形，則該四棱錐的最長棱與底面所成角的正切值為（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三視圖可得：該幾何體是正方體中的一個四棱錐，如下圖中的四棱錐設(shè)正方體的邊長為，該四棱錐中最長的棱為，它與底面所成角為，又,所以故選：C5．如圖程序框圖輸出的，則輸入的所有取值為（ ）A．-2或2 B．4或2 C．-2或4或2 D．-2或4【答案】D【解析】由流程圖可得：當(dāng)時，，令，解得：或（舍去）當(dāng)時，，令，解得：所以輸入的所有取值為：或故選：D6．已知等差數(shù)列，且是方程的兩根，是數(shù)列的前項和，則的值為（ ）A．110 B．66 C．44 D．33【答案】B【解析】因為是方程的兩根，所以.所以故選：B7．已知圓，過點作圓的切線，其中一個切點為，則的長度為（ ）A． B．5 C． D．4【答案】A【解析】由得：，所以該圓的半徑為，圓心為，依據(jù)題意作出圖象如下：為直線與圓的切點所以故選：A8．已知函數(shù)，其圖像大致為（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以為奇函數(shù)，排除C,D當(dāng)時，所以，所以在上存在遞增區(qū)間，排除A.故選：B9．的展開式中的系數(shù)為（ ）A．-5 B．5C．35 D．-90【答案】A【解析】的展開式的通項公式為，所以展開式是由與這些項的和組成，當(dāng)時，當(dāng)時，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A10．在區(qū)間上任意取兩個實數(shù)，則的概率為（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得：作出點所表示的平面區(qū)域如下圖的正方形，又滿足的點在線段左上方的陰影部分，所以的概率為.故選：A11．已知的三個頂點落在半徑為的球的表面上，三角形有一個角為且其對邊長為3，球心到所在的平面的距離恰好等于半徑的一半，點為球面上任意一點，則三棱錐的體積的最大值為（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)外接圓的圓心為，則平面，所以設(shè)外接圓的半徑為，，由正弦定理可得：，解得：由球的截面圓性質(zhì)可得：，解得：所以點到平面的距離的最大值為：.在中，由余弦定理可得：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.當(dāng)三棱錐的底面面積最大，高最大時，其體積最大.所以三棱錐的體積的最大值為故選：C12．已知橢圓，，分別為橢圓的左右焦點，若橢圓上存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意作出如下圖象：由已知可得：當(dāng)點在橢圓的上（下）頂點處時，最大，要滿足橢圓上存在點使得，則所以即：，整理得：又，即：所以所以橢圓離心率的取值范圍為故選：D二、填空題13．已知不共線的非零向量，若與平行，則實數(shù)的值為__________．【答案】-4.【解析因為與平行，所以所以，解得：14．實數(shù)滿足約束條件：，則的取值范圍為__________．【答案】.【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：其中因為表示與點連線斜率，由圖可得：當(dāng)點在點處時，它與點連線斜率最小為.所以的取值范圍為15．函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為__________．【答案】，（開閉都可以）.【解析】令（）解得：（）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）當(dāng)時，=當(dāng)時，當(dāng)取其它整數(shù)時，所以函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為，16．已知函數(shù)滿足：，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在點的切線方程為__________．【答案】.【解析】由題可得：因為，所以點在曲線上，又函數(shù)滿足：，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以點關(guān)于點對稱的點也在函數(shù)的圖象上所以點為點，又函數(shù)的圖象在點處的切線與在點處的切線也關(guān)于點對稱，所以兩切線平行.即：所以函數(shù)在點的切線方程為：，即：三、解答題17．已知，，.（1）求函數(shù)的最大值，及此時的取值；（2）在三角形中角的對邊分別為，若，，，求三角形的面積.解：（1）由題可得：，化簡得： ，當(dāng)，即時，此時取得最大值為. （2）由得：，. ， 18．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，記的前項和為，證明：.解：（1） 是等差數(shù)列，公差為. .（2） ,,,，.19．如圖多面體，，棱垂直平面，且.（1）證明：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）作,的中點分別為，連接，設(shè)則,，可算得.在三角形中，，即同理可得又面, 又面.（用向量證明也可以）（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系,為的中點，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，因為，，所以所以，不妨設(shè)，則所以，又所以直線與平面所成角的正弦值為:所以直線與平面所成角的正弦值為.20．為了了解學(xué)生考試時的緊張程度，現(xiàn)對100名同學(xué)進(jìn)行評估，打分區(qū)間為，得到頻率分布直方圖如下，其中成等差數(shù)列，且.（1）求的值；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從緊張度值在，中共抽取5名同學(xué)，再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求至少有一名同學(xué)是緊張度值在的概率.解：（1）由題可得：解得. （2）根據(jù)分層抽樣中抽2人記為，中抽3人記為共有10種本事件： ，記事件為：至少有一名在的同學(xué)，該事件包含7個基本事件，所以至少有一名同學(xué)是緊張度值在的概率公式，屬于中檔題.21．已知橢圓，，分別為橢圓的左右焦點，離心率，上頂點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，且滿足，若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由.解：（1）由題可得：，解得：，所以橢圓方程為： （2）設(shè)直線為，點由化簡得： 即，化簡得，此方程無解所以不存在滿足題意的直線.22．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，證明：只有一個極值點，且.解：（1）由題可得：， 即，即所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （2），，，顯然即在上單調(diào)遞增在區(qū)間存在唯一一個，使得即在區(qū)間上，，為減函數(shù)在區(qū)間上，，為增函數(shù)只有一個極小值點在區(qū)間上存在唯一一個使得即，當(dāng)時，。