函數(shù) 函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一,函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學(xué)的全過程,包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中,填空題?解答題中每年都有函數(shù)試題,而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢.考試熱點:①考查函數(shù)的表示法?定義域?值域?單調(diào)性?奇偶性和函數(shù)的圖象.②函數(shù)與方程?不等式?數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念,通過對實際問題的抽象分析,建立相應(yīng)的函數(shù)模型并用來解決問題,是考試的熱點.③考查運用函數(shù)的思想來觀察問題?分析問題和解決問題,滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想.函數(shù)概念(一)知識梳理1.映射的概念設(shè)是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中的任意元素,在集合中都有唯一確定的元素與之對應(yīng),那么這樣的單值對應(yīng)叫做從到的映射,通常記為 ,f表示對應(yīng)法則2.函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義:設(shè)是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中的每一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù),通常記為 (2)函數(shù)的三要素:定義域?值域和對應(yīng)法則3.函數(shù)的三種表示法:圖象法?列表法?解析法(1).圖象法:就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系;(2).列表法:就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系;(3).解析法:就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用等式來表示.4.分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).(二)考點分析考點1:映射和函數(shù)的概念例1.若,,,則到的映射有 個,到的映射有 個,到 的函數(shù)有 個例2. 函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)為 個.考點2:判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)例1. 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?(1),; (2),(3),;(4),考點3:求函數(shù)解析式方法總結(jié):(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)?二次函數(shù)),則用待定系數(shù)法;(2)若已知復(fù)合函數(shù)的解析式,則可用換元法或配湊法;(3)若已知抽象函數(shù)的表達式,則常用解方程組消參的方法求出題型1:由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式例1． 已知二次函數(shù)滿足,求例2.(09湖北改編)已知=,則的解析式可取為 題型2:求抽象函數(shù)解析式 例1.已知函數(shù)滿足,求考點4:求函數(shù)的定義域題型1:求有解析式的函數(shù)的定義域(1)方法總結(jié):如沒有標明定義域,則認為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的的取值范圍,實際操作時要注意:① 分母不能為0;② 對數(shù)的真數(shù)必須為正;③ 偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù);④ 零指數(shù)冪中,底數(shù)不等于0;⑤ 負分數(shù)指數(shù)冪中,底數(shù)應(yīng)大于0;⑥ 若解析式由幾個部分組成,則定義域為各個部分相應(yīng)集合的交集;⑦ 如果涉及實際問題,還應(yīng)使得實際問題有意義,而且注意:研究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原則,實際問題的定義域不要漏寫.例1.(08年湖北)函數(shù)的定義域為__________.題型2:求復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域例1.(2007·湖北)設(shè),則的定義域為________.例2． 已知函數(shù)的定義域為,求的定義域.例3． 已知的定義域是,求函數(shù)的定義域.例4.已知的定義域是(-2,0),求的定義域.考點5:求函數(shù)的值域1． 求值域的幾種常用方法(1)配方法:對于(可化為)“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法,如求函數(shù),可變?yōu)榻鉀Q(2)基本函數(shù)法:一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求,如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求.(3)判別式法:通過對二次方程的實根的判別求值域.如求函數(shù)的值域(4)分離常數(shù)法:常用來求“分式型”函數(shù)的值域. 如求函數(shù)的值域.(5)換元法:運用換元法時,要特別要注意新元的范圍.①的值域為____________. ② 的值域為___________.(6)數(shù)形結(jié)合法.已知點在圓上,求及的取值范圍.(7)導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項式函數(shù),如求函數(shù),的最小值.(8)對勾函數(shù)法 像y=x+,(m>0)的函數(shù),m<0就是單調(diào)函數(shù)了 (1)如,求(2)x [-1,0 )(0,4],求值域 (2)如 ,求(1)[3,7]上的值域 (2)單調(diào)遞增區(qū)間.(9)直接分析法.設(shè)函數(shù),①若的定義域是R,求實數(shù)的取值范圍;②若的值域是R,求實數(shù)的取值范圍.考點6:分段函數(shù):練1. 已知函數(shù)= .練2. 已知函數(shù)的定義在上的奇函數(shù),當時,,則不等式的解集是 .函數(shù)的單調(diào)性(一)知識梳理1?函數(shù)的單調(diào)性定義:設(shè)函數(shù)的定義域為,區(qū)間,如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,,當時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),稱為的單調(diào)增區(qū)間;如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,,當時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),稱為的單調(diào)減區(qū)間.如果用導(dǎo)數(shù)的語言來,那就是:設(shè)函數(shù),如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的增函數(shù);如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的減函數(shù);2?確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法:(1)①定義法(取值――作差――變形――定號);②導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間內(nèi),若總有,則為增函數(shù);反之,若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),則,(2)復(fù)合函數(shù)法:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減(3)若與在定義域內(nèi)都是增函數(shù)(減函數(shù)),那么在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)(減函數(shù)).3?單調(diào)性的說明:(1)函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論,所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域;(2)函數(shù)單調(diào)性定義中的,有三個特征:一是任意性;二是大小,即;三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間,三者缺一不可; (3)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,所以受到區(qū)間的限制,如函數(shù)分別在和內(nèi)都是單調(diào)遞減的,但是不能說它在整個定義域即內(nèi)是單調(diào)遞減的,只能說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.4?函數(shù)的最大(小)值設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最大值;如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最小值.(二)考點分析考點1 函數(shù)的單調(diào)性題型1:基本函數(shù)的單調(diào)性例1.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________.例2.已知函數(shù)滿足對任意成立,則a的取值范圍是______________.例3.若函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍是____________. 題型2:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.例1． 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.題型2:研究抽象函數(shù)的單調(diào)性例1.已知函數(shù)的定義域是的一切實數(shù),對定義域內(nèi)的任意都有,且當時,(1)求證:是偶函數(shù);(2)在上是增函數(shù);(3)解不等式.解:(1)令,得,∴,令,得∴,∴,∴是偶函數(shù).(2)設(shè),則∵,∴,∴,即,∴∴在上是增函數(shù).(3),∴,∵是偶函數(shù)∴不等式可化為,又∵函數(shù)在上是增函數(shù),∴,解得:,即不等式的解集為.題型3:函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用例2.已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍___________. 考點2 函數(shù)的最值.題型1:求分式函數(shù)的最值例1.(2007上海)已知函數(shù)當時,求函數(shù)的最小值.題型2:利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍例2.(2008廣東)已知函數(shù)若對任意恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.函數(shù)的奇偶性(一)知識梳理⑴偶函數(shù):.設(shè)()為偶函數(shù)上一點,則()也是圖象上一點.⑵偶函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足①定義域一定要關(guān)于原點對稱,②滿足,或,若時,.⑶奇函數(shù):.設(shè)()為奇函數(shù)上一點,則()也是圖象上一點.⑷奇函數(shù)的判定:兩個條件同時滿足①定義域一定要關(guān)于原點對稱,②滿足,或,若時,.注:函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件,在利用定義判斷時,應(yīng)在化簡解析式后進行,同時靈活運用定義域的變形,如,(f(x)≠0);定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)必定過原點?(二)考點分析考點1 判斷函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用題型1:判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·;(3);(4)題型2:證明抽象函數(shù)的奇偶性例1 .(09年山東)定義在區(qū)間上的函數(shù)f (x)滿足:對任意的,都有. 求證f (x)為奇函數(shù);例2.設(shè)函數(shù)對于任意的,都有,且時,(1)求證是奇函數(shù);(2)試問當時,是否有最值?如果有,求出最值;如果沒有,說出理由.考點2 函數(shù)奇偶性?單調(diào)性的綜合應(yīng)用例1.若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù),且=2,則不等式的解集為______.例2.已知是偶函數(shù),定義域為,則=____________.例3.已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍.例4.若為奇函數(shù),則實數(shù)=_________.函數(shù)的周期性(一)知識梳理1.函數(shù)的周期性的定義:對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得定義域內(nèi)的每一個值,都滿足,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.2.周期性的性質(zhì):類比“三角函數(shù)圖像”得:(1)若圖像有兩條對稱軸,則必是周期函數(shù),且一周期為;(2)若圖像有兩個對稱中心,則是周期函數(shù),且一周期為;(3)如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸,則函數(shù)必是周期函數(shù),且一周期為;(4)①若f(x+a)=f(x+b) 則T=|b-a|;②函數(shù)滿足,則是周期為2的周期函數(shù);③若恒成立,則;④若恒成立,則.3.函數(shù)圖像變換:⑴圖象作法:①描點法(注意三角函數(shù)的五點作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法⑵圖象變換:① 平移變換:ⅰ,———左“+”右“-”; ⅱ———上“+”下“-”;② 伸縮變換:ⅰ, (———縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的倍;ⅱ, (———橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的倍;③ 對稱變換:ⅰ;ⅱ;ⅲ ;④ 翻轉(zhuǎn)變換:ⅰ———右不動,右向左翻(在左側(cè)圖象去掉);ⅱ———上不動,下向上翻(||在下面無圖象);(二)考點分析考點2函數(shù)的周期性與對稱性例1函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.則________.例2若曲線與有兩個公共點,則的取值范圍是______. 例3.函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_________個.例4.如若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的對稱軸方程是_______.考點2 函數(shù)奇偶性?周期性的綜合應(yīng)用 例1 .(09年江蘇題改編)定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立,且,則 ________ .例2.定義在R上的函數(shù)滿足,且,當時,,則______________.2.5 二次函數(shù)(一)知識梳理1?二次函數(shù)解析式的三種設(shè)法:①一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0) ②頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0) ③兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2) .2?二次函數(shù)的性質(zhì):二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)定義域R值 域a>0 a<0 奇偶性當b=0時是偶函數(shù);當時為非奇非偶函數(shù)?單調(diào)性a>0a<0在上遞減;在上遞增在上遞增;在上遞減圖象圖象特點 (1)對稱軸: (2)頂點:3?三個“二次”之間的關(guān)系:二次函數(shù)?一元二次不等式和一元二次方程是一個有機的整體,要深刻理解它們之間的關(guān)系,運用函數(shù)。